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背理法

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今回の問題は「背理法」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\sqrt{2}\) が無理数であるとき、\(\sqrt{2}+3\) が無理数であることを証明せよ。
\({\small (2)}~\sqrt{3}\) が無理数であることを背理法を用いて証明せよ。ただし、自然数 \(n\) について、\(n^2\) が3の倍数ならば、\(n\) も3の倍数となることを用いてよい。

 

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背理法のやり方

Point:背理法・背理法
命題が成り立たないと仮定する。
② 仮定より矛盾する事柄が導かれることを示す。
③ 仮定が間違ってることとなるので、命題が成り立つことが証明される。
この手順で証明する方法を背理法といいます。
 
・互いに素
\(m~,~n\) が \(1\) 以外に約数をもたないことを、「\(m~,~n\) は互いに素」といいます。
 
・有理数の性質
有理数の定義は、互いに素の整数 \(m~,~n\) を用いて、

$$\frac{m}{n}~~(n\neq0)$$

と表すことができます。
また、有理数どうしの和、差、積、商は必ず有理数となります。

 

問題解説:背理法

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\sqrt{2}\) が無理数であるとき、\(\sqrt{2}+3\) が無理数であることを証明せよ。

[証明]
\(\sqrt{2}+3\) が有理数であると仮定すると、有理数 \(a\) を用いて \(\sqrt{2}+3=a\) とおくことができる。$$\hspace{ 10 pt}\sqrt{2}+3=a$$$$\hspace{ 28 pt}\sqrt{2}=a-3$$ここで、右辺の \(a-3\) は有理数どうしの差となるので、有理数となります。
これは、左辺の \(\sqrt{3}\) が無理数であることに矛盾します。
したがって、背理法より \(\sqrt{2}+3\) は無理数となります。[終]

 

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\sqrt{3}\) が無理数であることを背理法を用いて証明せよ。ただし、自然数 \(n\) について、\(n^2\) が3の倍数ならば、\(n\) も3の倍数となることを用いてよい。

[証明]
\(\sqrt{3}\) が有理数であると仮定すると、互いに素の2つの自然数 \(a~,~b\) を用いて、$$~~~\sqrt{3}=\frac{a}{b}$$と表すことができます。
これより、$$\hspace{ 10 pt}\sqrt{3}b=a$$$$\hspace{ 23 pt}a=\sqrt{3}b$$ここで、両辺を2乗すると、$$\hspace{ 10 pt}a^2=3b^2~~\cdots{\large ①}$$これより、\(a^2\) は3の倍数となるので、\(a\) も3の倍数となります。
(問題文の「\(n^2\) が3の倍数ならば、\(n\) も3の倍数となる」を用いる)
したがって、自然数 \(k\) を用いて、$$\hspace{ 10 pt}a=3k~~\cdots{\large ②}$$と表すことができます。
②を①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}(3k)^2=3b^2$$$$\hspace{ 18 pt}9k^2=3b^2$$$$\hspace{ 18 pt}3k^2=b^2$$$$\hspace{ 23 pt}b^2=3k^2$$よって、\(b^2\) が3の倍数となるので、\(b\) も3の倍数となります。
 
以上より、\(a\) も \(b\) も3の倍数となり、\(a~,~b\) が互いに素に矛盾します。
よって、背理法より \(\sqrt{3}\) は無理数となります。

 

今回のまとめ

背理法は重要な証明方法の1つとなります。また、有理数の性質や互いに素なども証明で使うので覚えておきましょう。

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