今回の問題は「対偶法」です。
問題整数 \(n\) について、\(n^2\) が３の倍数ならば、\(n\) も３の倍数となることを対偶を利用して証明せよ。
Point：対偶法での証明命題 \(p~\Rightarrow~q\) を証明するとき、
その対偶 \(\overline {\,q\,}~\Rightarrow~\overline {\,p\,}\) の真偽は一致する。
対偶が成り立つことを示す証明を「対偶法」
① 命題の対偶を考える。
② 対偶が成り立つことを示す。
③ 真偽が一致するこので命題が成り立つ。
例えば、
「\(n^2\) が \(3\) の倍数 ならば \(n\) は \(3\) の倍数」は、
対偶の「\(n\) が \(3\) の倍数でない ならば \(n^2\) は \(3\) の倍数でない」を示す。
■ 倍数の証明
「３の倍数であるorでない」が条件のとき、
整数 \(k\) を用いて、
\({\small [~1~]}\,~n=3k\,\) ← ３の倍数
\({\small [~2~]}\,~n=3k+1\) ← ３の倍数でない
\({\small [~3~]}\,~n=3k+2\) ← ３の倍数でない
このように、\(3\) で割ったときの余りで分類する。
その対偶 \(\overline {\,q\,}~\Rightarrow~\overline {\,p\,}\) の真偽は一致する。
対偶が成り立つことを示す証明を「対偶法」
① 命題の対偶を考える。
② 対偶が成り立つことを示す。
③ 真偽が一致するこので命題が成り立つ。
例えば、
「\(n^2\) が \(3\) の倍数 ならば \(n\) は \(3\) の倍数」は、
対偶の「\(n\) が \(3\) の倍数でない ならば \(n^2\) は \(3\) の倍数でない」を示す。
■ 倍数の証明
「３の倍数であるorでない」が条件のとき、
整数 \(k\) を用いて、
\({\small [~1~]}\,~n=3k\,\) ← ３の倍数
\({\small [~2~]}\,~n=3k+1\) ← ３の倍数でない
\({\small [~3~]}\,~n=3k+2\) ← ３の倍数でない
このように、\(3\) で割ったときの余りで分類する。
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