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対偶法

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今回の問題は「対偶法」です。

問題整数 \(n\) について、\(n^2\) が3の倍数ならば、\(n\) も3の倍数となることを対偶を利用して証明せよ。

 

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対偶法のやり方

Point:対偶法命題 \(p~\Rightarrow~q\) に対して、
その対偶 \(\overline {q}~\Rightarrow~\overline {p}\) と真偽は一致します。
この性質を利用して、
命題 \(p~\Rightarrow~q\) を証明するときに、その対偶 \(\overline {q}~\Rightarrow~\overline {p}\) を証明しても良いことが分かります。
 
このような証明法を対偶法といいます。

 

問題解説:対偶法

問題整数 \(n\) について、\(n^2\) が3の倍数ならば、\(n\) も3の倍数となることを対偶を利用して証明せよ。

[証明]
整数 \(n\) について、
「\(n^2\) が3の倍数ならば、\(n\) も3の倍数」
この命題の対偶は、
「\(n\) が3の倍数でないならば、\(n^2\) も3の倍数でない」
となります。
 
整数 \(n\) は3の倍数でないので、整数 \(k\) を用いて、\(n=3k+1~,~n=3k+2\) と表すことができます。
(ⅰ) \(n=3k+1\) のとき、
\(n^2\) は次のようになります。$$\hspace{ 10 pt}n^2=(3k+1)^2$$$$\hspace{ 23 pt}=9k^2+6k+1$$$$\hspace{ 23 pt}=3(3k^2+2k)+1$$よって、\(n^2\) は3の倍数となりません。
 
(ⅱ) \(n=3k+2\) のとき、
\(n^2\) は次のようになります。$$\hspace{ 10 pt}n^2=(3k+2)^2$$$$\hspace{ 23 pt}=9k^2+12k+4$$$$\hspace{ 23 pt}=9k^2+12k+3+1$$$$\hspace{ 23 pt}=3(3k^2+4k+1)+1$$よって、\(n^2\) は3の倍数となりません。
 
(ⅰ)と(ⅱ)より、\(n^2\) は3の倍数となりません。
よって、
「\(n\) が3の倍数でないならば、\(n^2\) も3の倍数でない」
が真となるので、その対偶である
「\(n^2\) が3の倍数ならば、\(n\) も3の倍数」
も真となります。[終]

 

今回のまとめ

この問題のようにそのままでは証明が難しい命題は対偶を考えて、その対偶を証明していきましょう。

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