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逆・裏・対偶

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今回の問題は「逆・裏・対偶」です。

問題次の命題の逆と裏と対偶を答えよ。また、それぞれの真偽も答えよ。
\(x=2\) かつ \(y=3\) ならば \(xy=6\)

 

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逆・裏・対偶の解法

Point:逆・裏・対偶命題 \(p~\Rightarrow~q\) に対して、
  \(q~\Rightarrow~p\) を逆
  \(\overline {p}~\Rightarrow~\overline {q}\) を裏
  \(\overline {q}~\Rightarrow~\overline {p}\) を対偶
といいます。
また、図にまとめると次のようになります。

ここで、\(q~\Rightarrow~p\) と \(\overline {p}~\Rightarrow~\overline {q}\) も対偶の関係になります。
 
・対偶の性質
命題の真偽とその命題の対偶の真偽は一致します。
すなわち、上の図における
\(p~\Rightarrow~q\) と \(\overline {q}~\Rightarrow~\overline {p}\)
 また、
\(q~\Rightarrow~p\) と \(\overline {p}~\Rightarrow~\overline {q}\)
真偽は一致します。

 

問題解説:逆・裏・対偶

問題次の命題の逆と裏と対偶を答えよ。また、それぞれの真偽も答えよ。
\(x=2\) かつ \(y=3\) ならば \(xy=6\)

命題「\(x=2\) かつ \(y=3\) ならば \(xy=6\)」についてこの命題は真となります。
 
この命題の逆は、
「\(xy=6\) ならば \(x=2\) かつ \(y=3\)」となります。
これは、\(x=1\) かつ \(y=6\) のとき満たさないので偽となります。
 
この命題の裏は、
「\(x\neq2\) または \(y\neq3\) ならば \(xy\neq6\)」となります。
この真偽は、対偶の関係に逆が偽であるので、これも偽となります。
 
この命題の対偶は、
「\(xy\neq6\) ならば \(x\neq2\) または \(y\neq3\)」となります。
この真偽は、対偶の関係にあるもとの命題が真であるので、これも真となります。

 

今回のまとめ

逆と裏と対偶についてはその表し方と対偶の関係にあるとき真偽が一致する性質をしっかりと覚えておきましょう。

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