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【問題一覧】数学Ⅰ:数と式

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このページは「高校数学Ⅰ:数と式」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう!
また、「解答を見る」クリックすると答えのみ表示されます。問題演習としても使えるようになっています。

 

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【問題一覧】数学Ⅰ:数と式

単項式の次数と係数

問題単項式 \(-5ax^2y\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)係数と次数を答えよ。
\({\small (2)}~\)\(a\) について着目したときの、係数と次数を答えよ。
\({\small (3)}~\)\(x\) と\(y\) について着目したときの、係数と次数を答えよ。

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【解答】
(1) 次数は \(4\)、係数は \(-5\)
(2) 次数は \(1\)、係数は\(-5x^2y\)
(3) 次数は \(3\)、係数は \(-5a\)

詳しい解説ページはこちらから↓

単項式の次数と係数
単項式の次数と係数について解説していきます。単項式の次数と係数は「どの文字に着目しているか」で変化するので、そこを注意して解いていきましょう。

 

多項式の次数と定数項

問題次の多項式を、\(a\) について降べきの順に整理し何次式になるか答えよ。また、定数項を求めよ。$${\small (1)}~5-2a^2-5a+3a^2+7a+3$$$${\small (2)}~3ab-b+4+2a^2b-2a+2b^2-4a^2$$

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【解答】
(1) 次数は \(2\)、定数項は \(8\)
(2) 次数は \(2\)、定数項は \(2b^2-b+4\)

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多項式の次数と定数項
多項式の次数についてみていきましょう。ポイントは単項式の次数と同じで「どの文字に着目しているか」です!

 

多項式の計算

問題\({\rm A}=x^2+x+1~,~{\rm B}=3x^2-7\) のとき、次の式を計算せよ。$${\small (1)}~{\rm A}+{\rm B}$$$${\small (2)}~{\rm A}-{\rm B}$$$${\small (3)}~2{\rm A}-5{\rm B}+{\rm A}+4{\rm B}$$$${\small (4)}~(3{\rm A}+{\rm B})+2({\rm A}-2{\rm B})$$
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【解答】$${\small (1)}~4x^2+x-6$$$${\small (2)}~-2x^2+x+8$$$${\small (3)}~3x+10$$$${\small (4)}~-4x^2+5x+26$$

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多項式の計算
多項式(整式)同士のたし算やひき算を解説していきます。単純に同類項をまとめるだけですが「降べきの順」に並べることと、「アルファベット順」にすることを忘れないようにしましょう!

 

累乗の計算

問題次の式を計算せよ。$${\small (1)}~(-3x^2y)^3$$$${\small (2)}~4a^2b^3 \times 3ab^2$$$${\small (3)}~(3xy)^3\times (-2xy^2)^2$$

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【解答】$${\small (1)}~-27x^6y^3$$$${\small (2)}~12a^3b^5$$$${\small (3)}~108x^5y^7$$

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累乗の計算
累乗の計算について解説していきます。累乗の計算は2種類の公式を間違って覚えやすいです。それぞれの式を意味を理解し覚えるようにしましょう。

 

分配法則と展開

問題次の式を展開せよ。$${\small (1)}~3(2x-5y-1)$$$${\small (2)}~(x-2y)(3x^2-4xy-2y^2)$$

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【解答】$${\small (1)}~6x-15y-3$$$${\small (2)}~3x^3-10x^2y+6xy^2+4y^3$$

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分配法則と展開
今回は展開の基本となる分配法則について解説していきます。ここの単元だけでなく様々な単元で展開は用いるのでしっかりと理解しできるようになりましょう。

 

2次式の展開と乗法公式

問題次の式を展開せよ。$${\small (1)}~(3x-2y)^2$$$${\small (2)}~(3x+y)(3x-y)$$$${\small (3)}~(x-1)(x+3)$$$${\small (4)}~(2x+3)(x-4)$$

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【解答】$${\small (1)}~9x^2-12xy+4y^2$$$${\small (2)}~9x^2-y^2$$$${\small (3)}~x^2+2x-3$$$${\small (4)}~2x^2-5x-12$$

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2次式の展開と乗法公式
2次式の展開を解説していきます。2次式の展開では4種類の乗法公式が出できます。それぞれ使えるように練習しましょう!

 

3次式の展開

問題次の式を展開せよ。$${\small (1)}~(3x-1)^3$$$${\small (2)}~(x+2y)^3$$$${\small (3)}~(3x+2)(9x^2-6x+4)$$$${\small (4)}~(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$$

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【解答】$${\small (1)}~27x^3-27x^2+9x-1$$$${\small (2)}~x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3$$$${\small (3)}~27x^3+8$$$${\small (4)}~8x^3-y^3$$

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3次式の展開
今回は3次式の展開と乗法公式について解説していきます。次数が上がると式が複雑になるので、乗法公式はしっかりと覚えておきましょう。

 

式の展開の工夫

問題次の式を展開せよ。$${\small (1)}~(a+b-2c)(a-b-2c)$$$${\small (2)}~(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$$

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【解答】$${\small (1)}~a^2-4ac+4c^2-b^2$$$${\small (2)}~x^4+10x^3+35x^2+50x+24$$

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式の展開の工夫
今回は式の展開において、普通に計算したら非常にめんどくさくなる問題を見ていきましょう。工夫の方法は大きく分けて「共通している部分を1つにまとめる」と「展開する順序や組合せを工夫する」ですので理解しできるようになりましょう。

 

2次式の因数分解

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~x^2y-xy^2+3xy$$$${\small (2)}~4x^2-4x+1$$$${\small (3)}~3x^2-12$$$${\small (4)}~x^2+8x-20$$

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【解答】$${\small (1)}~xy(x-y+3)$$$${\small (2)}~(2x-1)^2$$$${\small (3)}~3(x+2)(x-2)$$$${\small (4)}~(x+10)(x-2)$$

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2次式の因数分解
今回は2次式の因数分解について解説していきます。因数分解の基本は「共通因数でくくる!」です。各種因数分解の公式を使う前に必ず共通因数を探すようにしましょう。

 

因数分解(たすき掛け)

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~2x^2+11x+5$$$${\small (2)}~3x^2-5x-2$$$${\small (3)}~5a^2+3ab-14b^2$$

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【解答】$${\small (1)}~(2x+1)(x+5)$$$${\small (2)}~(3x+1)(x-2)$$$${\small (3)}~(5a-7b)(a+2b)$$

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因数分解(たすき掛け)
因数分解の中でも公式を用いるだけでは解けない「たすき掛け」を用いるパターンを解説していきます。このパターンは解法を理解したら十分な量の演習で経験を積む必要がありますので、何度も繰り返し練習しましょう。
【問題演習】因数分解(たすき掛け)
このページはたすき掛けを用いる因数分解の演習ページです。「解答と解説」をクリックすると、解答とたすき掛けの表が表示されます。繰り返し練習し、できるようになりましょう。

 

3次式の因数分解

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~8x^3+1$$$${\small (2)}~x^3-27y^3$$$${\small (3)}~3x^3-24$$

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【解答】$${\small (1)}~(2x+1)(4x^2-2x+1)$$$${\small (2)}~(x-3y)(x^2+3xy+9y^2)$$$${\small (3)}~3(x-2)(x^2+2x+4)$$

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3次式の因数分解
3次式の因数分解についは、公式を1つ覚えておきましょう。しかし、基本はあくまで「共通因数でくくる!」です。公式を使う前に共通因数を探すようにしましょう。

 

因数分解の工夫

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~a(x+y)-b(x+y)$$$${\small (2)}~a(b-2)+(2-b)$$$${\small (3)}~(x-1)^2-3(x-1)+2$$$${\small (4)}~(x^2+4x)^2-2(x^2+4x)-15$$

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【解答】$${\small (1)}~(x+y)(a-b)$$$${\small (2)}~(a-1)(b-2)$$$${\small (3)}~(x-3)(x-2)$$$${\small (4)}~(x-1)(x+5)(x+1)(x+3)$$

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因数分解の工夫
式の展開の工夫で用いた「共通部分の置き換え」は複雑な因数分解の解法でも使います。一見共通部分がないときでも、マイナスでくくると共通部分が出てくる問題もありますので注意して解いていきましょう。

 

文字式のたすき掛け

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~x^2+(4y+1)x+(3y-1)(y+2)$$$${\small (2)}~x^2+(y-5)x-(y+2)(2y-3)$$$${\small (3)}~2x^2-(y+7)x-(3y+1)(y-3)$$

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【解答】$${\small (1)}~(x+3y-1)(x+y+2)$$$${\small (2)}~(x-y-2)(x+2y-3)$$$${\small (3)}~(2x-3y-1)(x+y-3)$$

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文字式のたすき掛け
たすき掛けの計算の中で、文字式のままたすき掛けをする問題があります。この計算ができないと、2種類以上の文字を含む式の因数分解の途中の計算でつまずくこととなりますので、しっかりと理解しできるようになりましょう。

 

2種類以上の文字を含む式の因数分解①(1次式)

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~xy+x-y-1$$$${\small (2)}~2x^2+2xy-x+y-1$$

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【解答】$${\small (1)}~(x-1)(y+1)$$$${\small (2)}~(2x+1)(x+y-1)$$

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2種類以上の文字を含む式の因数分解①(1次式)
2種類以上の文字を含む式の因数分解を解説していきましょう。今までは文字の種類が x だけでした。今回は x と y の2種類、またはそれ以上の種類の文字を含む式の因数分解の解法となります。

 

2種類以上の文字を含む式の因数分解②(2次式)

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~x^2+xy-2y^2+4x+17y-21$$$${\small (2)}~a^2b+ab^2+b^2c+bc^2$$$$\hspace{75pt}+c^2a+ca^2+2abc$$

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【解答】$${\small (1)}~(x+2y-3)(x-y+7)$$$${\small (2)}~(a+b)(b+c)(c+a)$$

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2種類以上の文字を含む式の因数分解②(2次式)
2種類以上の文字を含む式の因数分解で2次式となるパターンの解説をしていきます。解法の基本は前回と同じになります。

 

複2次式の因数分解

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~x^4-x^2-12$$$${\small (2)}~x^4+3x^2+4$$

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【解答】$${\small (1)}~(x^2+3)(x+2)(x-2)$$$${\small (2)}~(x^2+x+2)(x^2-x+2)$$

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複2次式の因数分解
今回は複2次式について解説していきます。。置き換えて因数分解するパターンと、「2乗-2乗」に無理矢理式変形するパターンを覚えておきましょう。

 

循環小数と分数

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の分数を循環小数の表し方で表せ。$$~~~{\large ①}~\frac{1}{6}~~~~~~~~~{\large ②}~\frac{11}{37}$$\({\small (2)}~\)次の循環小数を分数で表せ。$$~~~{\large ①}~0.\dot{1}2\dot{3}~~~~~~~~~{\large ②}~0.1\dot{3}$$

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【解答】$${\small (1)}~{\large ①}~0.1\dot{6}~~~{\large ②}~0.\dot{2}9\dot{7}$$$${\small (2)}~{\large ①}~\frac{41}{333}~~~{\large ②}~\frac{2}{15}$$

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循環小数と分数
無限小数の中である規則性をもって循環するものを循環小数といいます。循環小数は有理数であるので分数で表すことができます。今回はその変換方法を学んでいきましょう。

 

絶対値の計算

問題次の値を求めよ。$${\small (1)}~|1-3|+|5-1|$$$${\small (2)}~|\sqrt{3}-2|+|\sqrt{3}-1|$$$${\small (3)}~|2-\pi|$$

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【解答】$${\small (1)}~6$$$${\small (2)}~1$$$${\small (3)}~\pi-2$$

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絶対値の計算
絶対値の計算について解説していきます。絶対値の記号の意味と計算方法をマスターしましょう。

 

平方根の計算

問題次の計算をせよ。$${\small (1)}~\sqrt{12} \div \sqrt{3} \times \sqrt{2} $$$${\small (2)}~\sqrt{18}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{12}$$$${\small (3)}~\sqrt{10}(\sqrt{2}+\sqrt{5})$$$${\small (4)}~(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$$

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【解答】$${\small (1)}~2\sqrt{2}$$$${\small (2)}~\sqrt{2}+3\sqrt{3}$$$${\small (3)}~2\sqrt{5}+5\sqrt{2}$$$${\small (4)}~2$$

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平方根の計算
平方根の基本的な計算について解説していきます。計算方法と答えの書き方に注意して問題を解いていきましょう。

 

分母の有理化

問題次の式の分母を有理化せよ。$${\small (1)}~\frac{\sqrt{6}-4}{\sqrt{2}}$$$${\small (2)}~\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{3}}$$$${\small (3)}~\frac{1}{\sqrt{3}-1}-\frac{1}{\sqrt{3}+1}$$

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【解答】$${\small (1)}~\sqrt{3}-2\sqrt{2}$$$${\small (2)}~2\sqrt{2}+\sqrt{6}$$$${\small (3)}~1$$

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分母の有理化
分母の有理化について解説していきます。中学数学では分母は単項式のみでしたが、高校数学からは多項式も出てきます。計算方法をしっかりと理解しできるようになりましょう。

 

対称式

問題\(a={\Large \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}}~,~b={\Large \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1}} \)のとき、次の式の値を求めよ。$${\small (1)}~a+b$$$${\small (2)}~ab$$$${\small (3)}~\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$$${\small (4)}~a^2+b^2$$$${\small (5)}~a^3+b^3$$

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【解答】$${\small (1)}~2\sqrt{6}$$$${\small (2)}~3$$$${\small (3)}~\frac{2\sqrt{6}}{3}$$$${\small (4)}~18$$$${\small (5)}~30\sqrt{6}$$

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対称式
対称式と呼ばれる式を解説していきます。どのような式が対称式になるかと基本対称式を用いた解法をおさえておきましょう。

 

整数部分と小数部分

問題次の数の整数部分と小数部分を答えよ。$${\small (1)}~\sqrt{2}+4$$$${\small (2)}~\sqrt{5}-1$$

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【解答】
(1) 整数部分が \(5\)、小数部分が \(\sqrt{2}-1\)
(2) 整数部分が \(1\)、小数部分が \(\sqrt{5}-2\)

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整数部分と小数部分
今回は平方根を含む式の整数部分と小数部分を求める問題を解説していきます。ポイントは平方根の値の近似値を利用し整数部分を先に求めることです!

 

二重根号

問題次の式を二重根号のない式で表せ。$${\small (1)}~\sqrt{6-\sqrt{20}}$$$${\small (2)}~\sqrt{14+4\sqrt{10}}$$$${\small (3)}~\sqrt{2+\sqrt{3}}$$

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【解答】$${\small (1)}~\sqrt{5} – 1$$$${\small (2)}~\sqrt{10}+2$$$${\small (3)}~\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$$

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二重根号
ルートの中にルートを含む式である二重根号の外し方について解説していきます。二重根号でない式にするには特定の式の形に式変形が必要となりますのでこの式変形の方法を理解しておきましょう。

 

1次不等式の解

問題次の不等式の解を求めよ。$${\small (1)}~x-5>3(7x-5)$$$${\small (2)}~\frac{x+1}{2}≦\frac{2x+4}{3}$$$${\small (3)}~\frac{x-1}{2}+\frac{2x+3}{3}>x-2$$

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【解答】$${\small (1)}~x<\frac{1}{2}$$$${\small (2)}~x≧-5$$$${\small (3)}~x>-15$$

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1次不等式の解
今回は1次不等式の解の求め方の解説をしていきます。基本的な解法は1次方程式と同じですが、マイナスの数を両辺にかけ算やわり算するとき不等号の向きが逆になる事に注意しましょう。

 

連立不等式の解

問題次の不等式の解を求めよ。$${\small (1)}~\biggl\{ \begin{eqnarray} 2x-3<x+5 \\ 3x-9≦0 \end{eqnarray} $$$${\small (2)}~-x+3≦3x+1<x+7$$

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【解答】$${\small (1)}~x≦3$$$${\small (2)}~\frac{1}{2}≦x<3$$

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連立不等式の解
連立不等式の解の求め方を解説していきます。解法の手順は、1次不等式の解を求めて数直線上に範囲を表し共通範囲を求めましょう。

 

不等式を満たす整数の解

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の不等式を満たす最小の整数 \(x\) を求めよ。$$~~~12(x-3)>2x+9$$\({\small (2)}~\)次の不等式を満たす最大の整数 \(x\) を求めよ。$$~~~\frac{x+1}{5}>\frac{x+3}{2}$$

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【解答】$${\small (1)}~x=5$$$${\small (2)}~x=-5$$

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不等式を満たす整数の解
今回は普通の1次不等式ではなく、その1次不等式を満たす整数の解を求める問題です。このタイプの問題は数直線を描いて視覚的に解くようにしましょう!

 

1次不等式の文章問題

問題みかんが1箱50個入り1500円で売られており、51個目からは1個あたり20円で売られている。このとき、みかん1個あたりの値段が23円以上27円以下となるには、みかんを何個以上何個以下買うときか答えよ。

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【解答】
\(72\) 個以上 \(166\) 個以下買えばよい

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1次不等式の文章問題
1次不等式に限らず文章題は、文中の条件を正確に読み取る必要があります。ポイントとなるワードを正確に読み取りましょう。

 

絶対値を含む方程式と不等式

問題次の方程式・不等式を解け。$${\small (1)}~|5-x|=2$$$${\small (2)}~|x-5|<3$$$${\small (3)}~|2x+3|≧1$$

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【解答】$${\small (1)}~x=3~,~7$$$${\small (2)}~2<x<8$$$${\small (3)}~x≦-2~,~-1≦x$$

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絶対値を含む方程式と不等式
絶対値を含む方程式と不等式のは右辺が定数(数値だけ)となっているパターンの問題です。基本的な決まった解法がありますのでしっかりと覚えてできるようになりましょう。

 

場合分けの必要な絶対値を含む方程式と不等式

問題次の方程式・不等式を解け。$${\small (1)}~|x-2|=2x-7$$$${\small (2)}~|x-3|≧5x+1$$

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【解答】$${\small (1)}~x=5$$$${\small (2)}~x≦\frac{1}{3}$$

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場合分けの必要な絶対値を含む方程式と不等式
絶対値を含む方程式と不等式の場合分けが必要なパターンを解説していきます。絶対値の中の値を確認して場合分けをしていきましょう。