今回の問題は「２種類以上の文字を含む式の因数分解②（２次式）」です。
問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~x^2+xy-2y^2+4x+17y-21$$$${\small (2)}~a^2b+ab^2+b^2c+bc^2$$$$\hspace{75pt}+c^2a+ca^2+2abc$$
Point：２種類の文字を含む２次式の因数分解２種類の文字を含む２次式の因数分解の方法は、
\(~~~x^2+3xy+2y^2+3x+5y+2\)
① １つの文字について着目して整理する。
\(x\) について整理すると、
\(~=x^2+(3y+3)x+2y^2+5y+2\)
② 部分的に因数分解をする。
後半部分を \(y\) の２次式と考えて因数分解
\(~=x^2+(3y+3)x+(2y+1)(y+2)\)
③ 全体的に因数分解をする。
掛けて \(1\)、掛けて \((2y+1)(y+2)\)
たすき掛けの和が \((3y+3)\) となる
数と式の組合せを考えて、
\(\begin{split}~~=~&\left\{x+(2y+1) \right\}\left\{x+(y+2) \right\}\\[2pt]~~=~&(x+2y+1)(x+y+2)\end{split}\)
\(~~~x^2+3xy+2y^2+3x+5y+2\)
① １つの文字について着目して整理する。
\(x\) について整理すると、
\(~=x^2+(3y+3)x+2y^2+5y+2\)
② 部分的に因数分解をする。
後半部分を \(y\) の２次式と考えて因数分解
\(~=x^2+(3y+3)x+(2y+1)(y+2)\)
③ 全体的に因数分解をする。
掛けて \(1\)、掛けて \((2y+1)(y+2)\)
たすき掛けの和が \((3y+3)\) となる
数と式の組合せを考えて、
④ これに \(x\) を付けた式が因数となり、( )の中をさらに整理する。
\(\begin{split}~~=~&\left\{x+(2y+1) \right\}\left\{x+(y+2) \right\}\\[2pt]~~=~&(x+2y+1)(x+y+2)\end{split}\)
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Point：３種類の文字を含む式の因数分解
\(\small~~~a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc\)
① １つの文字について着目して整理する。
\(a\) について着目して整理すると、
\(\small~=(b+c)a^2+(b^2+2bc+c^2)a+b^2c+bc^2\)
② 部分的に因数分解をする。
\((b^2+2bc+c^2)\) と \((b^2c+bc^2)\) を
それぞれ部分的に因数分解すると、
\(~=(b+c)a^2+(b+c)^2a+bc(b+c)\)
③ 全体的に因数分解をする。
\((b+c)\) が共通因数となるので、
\(~=(b+c)\left\{ a^2+(b+c)a+bc \right\}\)
④ さらに( )の中を因数分解する。
\(\left\{a^2+(b+c)a+bc\right\}\) を因数分解すると、
\(~=(b+c)(a+b)(a+c)\)
⑤ 答えるときは、\(a\to b\to c\to a\to \cdots\) の順になるように並べかえる。
\(\begin{split}~~=~&(a+b)(b+c)(a+c)\\[2pt]~~=~&(a+b)(b+c)(c+a)\end{split}\)
３種類の文字を含む２次式の因数分解の方法は、
\(\small~~~a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc\)
① １つの文字について着目して整理する。
\(a\) について着目して整理すると、
\(\small~=(b+c)a^2+(b^2+2bc+c^2)a+b^2c+bc^2\)
② 部分的に因数分解をする。
\((b^2+2bc+c^2)\) と \((b^2c+bc^2)\) を
それぞれ部分的に因数分解すると、
\(~=(b+c)a^2+(b+c)^2a+bc(b+c)\)
③ 全体的に因数分解をする。
\((b+c)\) が共通因数となるので、
\(~=(b+c)\left\{ a^2+(b+c)a+bc \right\}\)
④ さらに( )の中を因数分解する。
\(\left\{a^2+(b+c)a+bc\right\}\) を因数分解すると、
\(~=(b+c)(a+b)(a+c)\)
⑤ 答えるときは、\(a\to b\to c\to a\to \cdots\) の順になるように並べかえる。
\(\begin{split}~~=~&(a+b)(b+c)(a+c)\\[2pt]~~=~&(a+b)(b+c)(c+a)\end{split}\)
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