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2種類以上の文字を含む式の因数分解②(2次式)

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今回の問題は「2種類以上の文字を含む式の因数分解②(2次式)」です。

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~x^2+xy-2y^2+4x+7y-21$$$${\small (2)}~a^2b+ab^2+b^2c+bc^2$$$$\hspace{75pt}+c^2a+ca^2+2abc$$

 

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2種類以上の文字を含む式の因数分解

解法は前回の単元と同じですが、もう一度確認しておきましょう。

Point:因数分解の解法因数分解の解法の解法の手順は、
共通因数をみつけて、くくりだす。
公式やたすき掛けを用いる。
 
→ 共通部分がある場合は、
共通部分を他の文字に置き換えて①と②を考える。
 
→ 文字の種類が2つ以上の場合は、
次数の低い方の文字に着目し、その文字について整理する。
部分的に因数分解をする。
全体的に因数分解をする。

 

問題解説:2種類以上の文字を含む式の因数分解②(2次式)

問題解説(1)

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~x^2+xy-2y^2+4x+7y-21$$

\(x\) と \(y\) のどちらに着目しても2次式となります。
\(x\) について着目し解いてみましょう。$$~~~~~~x^2+xy-2y^2+4x+7y-21$$$$~=x^2+xy+4x-2y^2+7y-21$$$$~=x^2+(y+4)x-2y^2+7y-21$$ここで、後半部分の \(-2y^2+7y-21\) を \(-1\) でくくると、$$~=x^2+(y+4)x-(2y^2-7y+21)$$よって、\(2y^2-7y+21\) を部分的な因数分解すると、たすき掛けの表より

$$~=x^2+(y+4)x-(2y-3)(y-7)$$次に全体的な因数分解すると、文字式のたすき掛けの表より

$$~= \{ x+(2y-3) \} \{ x-(y-7)\} $$$$~=(x+2y-3)(x-y+7)$$よって、答えは \((x+2y-3)(x-y+7) \) となります。

 

問題解説(2)

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (2)}~a^2b+ab^2+b^2c+bc^2$$$$\hspace{75pt}+c^2a+ca^2+2abc$$

\(a\) と \(b\) と \(c\) のどれに着目しても2次式となります。
\(a\) について着目し解いてみましょう。$$~~~~~~a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc$$$$~=a^2b+ca^2+ab^2+c^2a+2abc+b^2c+bc^2$$$$~=(b+c)a^2+(b^2+c^2+2bc)a+b^2c+bc^2$$ここで、部分的な因数分解すると、$$~b^2+c^2+2bc=b^2+2bc+c^2=(b+c)^2$$また、\( b^2c+bc^2=bc(b+c)\) よって、$$~=(b+c)a^2+(b+c)^2a+bc(b+c)$$ここで、全体的な因数分解すると、\( (b+c)\) でくくりだせるので$$~=(b+c) \{ a^2+(b+c)a+bc \}$$次に\(\{~~\}\)の中を因数分解すると、$$~=(b+c)(a+b)(a+c)$$\(a\) → \(b\) → \(c\) → \(a\) → …の順に並べ替えて、 $$~=(a+b)(b+c)(c+a)$$よって、答えは \((a+b)(b+c)(c+a) \) となります。

 

今回のまとめ

前回と今回で2種類以上の文字を含む式の因数分解を解説しました。解法の手順が複雑ですが、④1つの文字に着目→⑤部分的な因数分解→⑥全体的な因数分解の流れは必ず覚えてできるようになりましょう!

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