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複2次式の因数分解

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今回の問題は「複2次式の因数分解」です。

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~x^4-x^2-12$$$${\small (2)}~x^4+3x^2+4$$

 

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複2次式の因数分解の解法

Point:複2次式の因数分解文字式が \(x^4\) と \(x^2\) だけの式を複2次式といいます。このタイプの問題の解法は、
(1) \(x^2=t\) と置き換えると、\(x^4=t^2\) となるので、\(t\) の2次式として因数分解しましょう。

 
(2) \(t\) の2次式としても因数分解できないときは、式変形をしていき、次の因数分解の公式が使えるようにしましょう。

$${\rm A^2-B^2=(A+B)(A-B) }$$

2つ目の解法は少々難しいですが、問題を通してパターンとして覚えておきましょう。

 

問題解説:複2次式の因数分解

問題解説(1)

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~x^4-x^2-12$$

この式は \(x^2=t\) と置き換えると、\(x^4=t^2\) となるので、$$~~~~~~x^4-x^2-12$$$$~=t^2-t-12$$この式を \(t\) の式として因数分解すると、 $$~=(t+3)(t-4)$$次に \(t=x^2\) より元に戻すと、$$~=(x^2+3)(x^2-4)$$ここで、 \(x^2-4\) はまだ因数分解できるので、 $$~=(x^2+3)(x+2)(x-2)$$答えは、\((x^2+3)(x+2)(x-2)\)となります。

 

問題解説(2)

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (2)}~x^4+3x^2+4$$

この式では \(x^2=t\) としても因数分解ができません。
そこで \(x^4\) と定数項 \(+4\) のより、\(x^2\) の係数が \(+4\) であればすなわち$$~~~x^4+4x^2+4=(x^2+2)^2$$となっていれば因数分解できると考えます。
よって、\(x^4+4x^2+4\) としたいので \(+3x^2\) を \(+4x^2\) に無理矢理します。
しかし、勝手にはできないので \(-x^2\) を加えて、元の式に戻るようにしておきましょう。$$~~~x^4+4x^2-x^2+4=x^4+3x^2+4$$この無理矢理作る式変形は重要ですので覚えておきましょう!

 

$$~~~~~~x^4+3x^2+4$$$$~=x^4+4x^2+4-x^2$$ここで、\(x^4+4x^2+4\) は因数分解できるので、$$~=(x^2+2)^2-x^2$$因数分解の公式 \({\rm A^2-B^2=(A+B)(A-B) }\) を用いると、$$~={(x^2+2)+x}{(x^2+2)-x}$$$$~=(x^2+x+2)(x^2-x+2)$$これ以上は因数分解できません。よって、答えは \((x^2+x+2)(x^2-x+2)\) となります。

 

今回のまとめ

複2次式の因数分解では、無理矢理因数分解できる形に式変形するパターンが重要です。このように、欲しい数字や式を勝手に作り、ひき算などで調節することは数学ではよくしますので覚えておきましょう。

 

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