今回の問題は「複２次式の因数分解」です。
問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~x^4-x^2-12$$$${\small (2)}~x^4+3x^2+4$$
Point：複２次式の因数分解文字式が \(x^4\) と \(x^2\) だけの式を複２次式という。
複２次式 \(x^4-3x^2-4\) などは、
\(x^2=t\) と置き換えて因数分解する。
■ 置き換えで因数分解できない複２次式
\(~~~x^4+x^2+1\)
① ( )² と部分的に因数分解ができるように、強引に式変形する。
\(x^4\) と定数項 \(1\) より、\(x^2\) の係数が \(2\) であれば
( )² と部分的に因数分解できるので、
\(x^2\) を \(2x^2-x^2\) とすると、
\(\begin{split}&x^4+x^2+1\\[2pt]~~=~&x^4+2x^2+1-x^2\end{split}\)
② 前半部分を部分的に因数分解して、
全体を( )² ー ( )² の形にする。
\(\begin{split}~~=~&(x^4+2x^2+1)-x^2\\[2pt]~~=~&\{(x^2)^2+2x^2+1\}-x^2\\[2pt]~~=~&(x^2+1)^2-x^2\end{split}\)
③ 全体を( )² ー ( )²の公式で因数分解し、さらに( )の中を整理する。
\(\begin{split}~~=~&\{(x^2+1)+x\}\{(x^2+1)-x\}\\[2pt]~~=~&(x^2+x+1)(x^2-x+1)\end{split}\)
複２次式 \(x^4-3x^2-4\) などは、
\(x^2=t\) と置き換えて因数分解する。
■ 置き換えで因数分解できない複２次式
\(~~~x^4+x^2+1\)
① ( )² と部分的に因数分解ができるように、強引に式変形する。
\(x^4\) と定数項 \(1\) より、\(x^2\) の係数が \(2\) であれば
( )² と部分的に因数分解できるので、
\(x^2\) を \(2x^2-x^2\) とすると、
\(\begin{split}&x^4+x^2+1\\[2pt]~~=~&x^4+2x^2+1-x^2\end{split}\)
② 前半部分を部分的に因数分解して、
全体を( )² ー ( )² の形にする。
\(\begin{split}~~=~&(x^4+2x^2+1)-x^2\\[2pt]~~=~&\{(x^2)^2+2x^2+1\}-x^2\\[2pt]~~=~&(x^2+1)^2-x^2\end{split}\)
③ 全体を( )² ー ( )²の公式で因数分解し、さらに( )の中を整理する。
\(\begin{split}~~=~&\{(x^2+1)+x\}\{(x^2+1)-x\}\\[2pt]~~=~&(x^2+x+1)(x^2-x+1)\end{split}\)
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