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循環小数と分数

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今回の問題は「循環小数と分数」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の分数を循環小数の表し方で表せ。$$~~~{\large ①}~\frac{1}{6}~~~~~~~~~{\large ②}~\frac{11}{37}$$\({\small (2)}~\)次の循環小数を分数で表せ。$$~~~{\large ①}~0.\dot{1}2\dot{3}~~~~~~~~~{\large ②}~0.1\dot{3}$$

 

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問題解説:循環小数と分数

問題解説(1)

【問題】次の問いに答えよ。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の分数を循環小数の表し方で表せ。$$~~~{\large ①}~\frac{1}{6}~~~~~~{\large ②}~\frac{11}{37}$$

① \( 1\div 6\) を筆算で計算すると、
 \( ~~~\underline{0.166\cdots}\)
 \( 6)10\)
 \(~~~ \underline{~~6~~~}\)
 \( ~~~~~46\)
 \( ~~~\underline{~~36~~~}\)
 \(~~~~~~~40\)
 \(~~~~~\underline{~~36~~~}\)
 \(~~~~~~~~~4\)

$$~~~\frac{1}{6}=0.1666\cdot=0.1\dot{6}$$よって、答えは \( 0.1\dot{6}\) となります。


② \( 11\div 37\) を筆算で計算すると、

 \( ~~~~~\underline{~~\, 0.2972\cdots}\)
 \( 37)110\)
 \(~~~~~ \underline{~~~74~~~}\)
 \( ~~~~~~~~360\)
 \( ~~~~~\underline{~~~333~~~}\)
 \(~~~~~~~~~~270\)
 \(~~~~~~~\underline{~~~259~~~}\)
 \(~~~~~~~~~~~~110\)
 \(~~~~~~~~~~~\underline{~~~74~~~}\)
 \(~~~~~~~~~~~~~~36\)

$$~~~\frac{11}{37}=0.2972972\cdot=0.\dot{2}9\dot{7}$$よって、答えは \( 0.\dot{2}9\dot{7}\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)次の循環小数を分数で表せ。$$~~~{\large ①}~0.\dot{1}2\dot{3}~~~~~~{\large ②}~0.1\dot{3}$$

① \( x=0.\dot{1}2\dot{3} \) とすると、3ケタで循環しているので1000倍するともとの \( x \) と小数点以下の数字が揃う

 \(~~~~~ 1000x=123.123 \cdots \)
 \(\underline{-)\,~~~~~~~~x=~~~~0.123 \cdots~~}\)
$$\hspace{27pt}999x=123$$$$\hspace{42pt}x=\frac{123}{999}$$$$\hspace{50pt}=\frac{41}{333}$$よって、答えは \( \Large{\frac{41}{333}}\) となります。

 


② \( x=0.1\dot{3} \) とすると、1ケタで循環しているが小数点以下の数字を揃えるためには \( 100x \) と \( 10x \) を考えればよい
 \(~~~~~~ 100x=13.333 \cdots \)
 \(\underline{-)~~~10x=~~1.333 \cdots~~}\)
$$\hspace{27pt}90x=12$$$$\hspace{39pt}x=\frac{12}{90}$$$$\hspace{47pt}=\frac{2}{15}$$よって、答えは \( \Large{\frac{2}{15}}\) となります。

 

今回のまとめ

分数を循環小数で表すのは実際に割り算をすればいいので簡単ですが、循環小数を分数にする計算方法は少し特殊ですのでしっかりと覚えておきましょう。

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