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絶対値の計算

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今回の問題は「絶対値の計算」です。

問題次の値を求めよ。$${\small (1)}~|1-3|+|5-1|$$$${\small (2)}~|\sqrt{3}-2|+|\sqrt{3}-1|$$$${\small (3)}~|2-\pi|$$

 

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絶対値の計算方法

Point:絶対値の計算絶対値は「原点からの距離」を表します。よって \(|3|\) も \(|-3|\) も原点からのの距離が \(3\) となるので、$$~~~|3|=3~,~|-3|=3$$となります。
よって、絶対値を外すときは、その中の数値が正になるか負になるかの確認が必要になります。
 
\(|{\rm A}|\) は、
(1) \( {\rm A} ≧ 0 \) のとき、

$$|{\rm A}|={\rm A}$$

中の数値が正ならそのまま外します。
 
(2) \( {\rm A} < 0\) のとき、

$$|{\rm A}|=-{\rm A}$$

中の数値が負ならマイナスを付けて外します。

 

問題解説:絶対値の計算

問題解説(1)

問題次の値を求めよ。$${\small (1)}~|1-3|+|5-1|$$

それぞれの絶対値の中を計算すると、$$~~~~~~|1-3|+|5-1|$$$$~=|-2|+|4|$$よって、絶対値を外すと、$$~=-(-2)+4$$$$~=2+4=6$$よって、答えは \(6\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の値を求めよ。$${\small (2)}~|\sqrt{3}-2|+|\sqrt{3}-1|$$

\( 1^2<3<2^2\) より平方根をとると、$$~~~\sqrt{1^2}<\sqrt{3}<\sqrt{2^2}$$$$~~~~~~~~~1<\sqrt{3}<2$$ここで、\( -2 \) すると、$$~~~1-2<\sqrt{3}-2<2-2$$$$~~~~~-1<\sqrt{3}-2<0$$よって、\( \sqrt{3}-2<0\) となります。
 
また、\( 1^2<3<2^2\) より平方根をとると、$$~~~\sqrt{1^2}<\sqrt{3}<\sqrt{2^2}$$$$~~~~~~~~~1<\sqrt{3}<2$$ここで、\( -1 \) すると、$$~~~1-1<\sqrt{3}-1<2-1$$$$~~~~~~~~0<\sqrt{3}-1<1$$よって、\( \sqrt{3}-1>0\) となります。
 
これより絶対値を外すと、$$~~~~~~|\sqrt{3}-2|+|\sqrt{3}-1|$$$$~=-(\sqrt{3}-2)+(\sqrt{3}-1)$$$$~=-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}-1$$$$~=-\sqrt{3}+\sqrt{3}+2-1$$$$~=1$$よって、答えは \(1\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の値を求めよ。$${\small (3)}~|2-\pi|$$

\( \pi=3.14\cdots \) より、\(2-\pi<0\) となります。
これより絶対値を外すと、$$~~~~~~|2-\pi|$$$$~=-(2-\pi)$$$$~=-2+\pi$$$$~=\pi-2$$よって、答えは \(\pi-2\) となります。

 

今回のまとめ

絶対値を外すときは中の数値が正か負かを慎重に判断しましょう!また、平方根や円周率 \(\pi\) の値などにも注意して計算しましょう。

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