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平方根の計算

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今回の問題は「平方根の計算」です。

問題次の計算をせよ。$${\small (1)}~\sqrt{12} \div \sqrt{3} \times \sqrt{2} $$$${\small (2)}~\sqrt{18}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{12}$$$${\small (3)}~\sqrt{10}(\sqrt{2}+\sqrt{5})$$$${\small (4)}~(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$$

 

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平方根の計算方法

Point:平方根の計算【平方根の積と商】
\( a>0~,~b>0 \) のとき、

$$\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$$$$\sqrt{a} \div \sqrt{b}=\sqrt{ \frac{a}{b}}$$

【平方根の和と差】
平方根の和と差はルートの数が同じ部分は同類項をまとめるように計算できます。
\( a>0 \) のとき、

$$x\sqrt{a} \pm y\sqrt{a}=(x\pm y)\sqrt{a}$$

【平方根の答え方】
ルートの中の数が大きい数のとき、次の公式を用いてルートの中を整理しましょう。
\( m>0~,~a>0 \) のとき、

$$\sqrt{m^2a}=\sqrt{m^2} \times \sqrt{a}$$$$~~~~~~~~~~~=m\sqrt{a}$$

また、文字式の積と商が連続しているときの計算方法復習しておきましょう。

Point:文字式の積と商積と商が連続しているとき、分数で表すと、

$$~~~~~~a\times b \div c \div d \times e~~$$$$~=\frac{a\times b \times e}{c\times d}$$

はじめの文字 \( a \) は分子に、そのあとの文字は \( \times x \) となっていれば分子に、\( \div x \) となっていれば分母にかけ算していくと覚えておきましょう。

 

問題解説:平方根の計算

問題解説(1)

問題次の計算をせよ。$${\small (1)}~\sqrt{12} \div \sqrt{3} \times \sqrt{2} $$

$$~~~~~~\sqrt{12} \div \sqrt{3} \times \sqrt{2}$$平方根の積と商の公式より、$$~=\sqrt{\frac{12\times 2}{3}}$$$$~=\sqrt{8}$$$$~=\sqrt{2^2\times 2}$$ルートの中を整理すると、$$~=2\sqrt{2}$$よって、答えは \( 2\sqrt{2} \) となります。

 

問題解説(2)

問題次の計算をせよ。$${\small (2)}~\sqrt{18}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{12}$$

$$~~~~~~\sqrt{18}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{12}$$\( \sqrt{18} \) と \( \sqrt{12} \) を整理すると、$$~=\sqrt{3^2\times 2}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{2^2\times 3}$$$$~=3\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}$$平方根の和と差の計算より、$$~=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{3}+2\sqrt{3}$$$$~=\sqrt{2}+3\sqrt{3}$$よって、答えは \( \sqrt{2}+3\sqrt{3} \) となります。

 

問題解説(3)

問題次の計算をせよ。$${\small (3)}~\sqrt{10}(\sqrt{2}+\sqrt{5})$$

$$~~~~~~\sqrt{10}(\sqrt{2}+\sqrt{5})$$分配法則を用いると、$$~=\sqrt{10}\times \sqrt{2}+\sqrt{10}\times \sqrt{5}$$$$~=\sqrt{20}+\sqrt{50}$$ルートの中を整理すると、$$~=\sqrt{2^2\times 5}+\sqrt{5^2 \times 2}$$$$~=2\sqrt{5}+5\sqrt{2}$$よって、答えは \( 2\sqrt{5}+5\sqrt{2} \) となります。

 

問題解説(4)

問題次の計算をせよ。$${\small (4)}~(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$$

$$~~~~~~(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$$乗法公式 \( (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \) を用いると、$$~=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2$$$$~=5-3$$$$~=2$$よって、答えは \( 2 \) となります。

 

今回のまとめ

平方根の基本はルートの中を整理することです。答えるときにそれ以上計算できない形まで整理して答えるように注意しましょう!

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