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分母の有理化

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今回の問題は「分母の有理化」です。

問題次の式の分母を有理化せよ。$${\small (1)}~\frac{\sqrt{6}-4}{\sqrt{2}}$$$${\small (2)}~\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{3}}$$$${\small (3)}~\frac{1}{\sqrt{3}-1}-\frac{1}{\sqrt{3}+1}$$

 

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分母の有理化の解法

Point:分母の有理化(1) 分母が単項式の場合
分母にある平方根の値を分母分子にかけ算して計算していきましょう。

$$\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}\times\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$$

 
(2) 分母が平方根の和・差となっている場合
その式の和を差に(または、差を和に)変えた式を分母分子にかけ算して乗法公式 \( \rm (A+B)(A-B)=A^2-B^2 \) を用いて計算していきましょう。

$$~~~~~~\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$$$~=\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\times\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}~~$$$$~=\frac{a(\sqrt{b}-\sqrt{c})}{b-c}$$

問題解説:分母の有理化

問題解説(1)

問題

次の式の分母を有理化せよ。$${\small (1)}~\frac{\sqrt{6}-4}{\sqrt{2}}$$

$$~~~~~~\frac{\sqrt{6}-4}{\sqrt{2}}$$分母分子に \( \sqrt{2} \) をかけ算すると、$$~=\frac{\sqrt{6}-4}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$$$~=\frac{\sqrt{6}\times \sqrt{2}-4\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}$$$$~=\frac{\sqrt{12}-4\sqrt{2}}{2}$$$$~=\frac{\sqrt{2^2\times 3}-4\sqrt{2}}{2}$$$$~=\frac{2\sqrt{3}-4\sqrt{2}}{2}$$$$~=\sqrt{3}-2\sqrt{2}$$よって、答えは \( \sqrt{3}-2\sqrt{2} \) となります。

 

問題解説(2)

問題次の式の分母を有理化せよ。$${\small (2)}~\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{3}}$$

$$~~~~~~\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{3}}$$分母分子に \( 2+\sqrt{3} \) をかけ算すると、$$~=\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{3}}\times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$$$~=\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$$分子は分配法則を用いて、分母は乗法公式 \( (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \) より、$$~=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2^2-(\sqrt{3})^2}$$$$~=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4-3}$$$$~=2\sqrt{2}+\sqrt{6}$$よって、答えは \( 2\sqrt{2}+\sqrt{6} \) となります。

 

問題解説(3)

問題次の式の分母を有理化せよ。$${\small (3)}~\frac{1}{\sqrt{3}-1}-\frac{1}{\sqrt{3}+1}$$

$$~~~~~~\frac{1}{\sqrt{3}-1}-\frac{1}{\sqrt{3}+1}$$左の項の分母分子には \( \sqrt{3}+1 \) を、右の項の分子には \( \sqrt{3}-1 \) をかけ算すると、$$~=\frac{1}{\sqrt{3}-1}\cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}-\frac{1}{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}$$$$~=\frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}-\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}$$乗法公式 \( (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \) より、$$~=\frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2-1^2}-\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3})^2-1^2}$$$$~=\frac{\sqrt{3}+1}{3-1}-\frac{\sqrt{3}-1}{3-1}$$$$~=\frac{\sqrt{3}+1}{2}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$$$~=\frac{(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)}{2}$$$$~=\frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1}{2}$$$$~=\frac{2}{2}=1$$
よって、答えは \( 1 \) となります。

 

今回のまとめ

平方根の有理化は計算過程で乗法公式を使えるように、分母分子に式をかけ算することが重要になります。計算が少々複雑になるので丁寧に計算していきましょう。

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