分母の有理化の解法
分母の平方根の値と同じ値 \(\sqrt{b}\) を、分母分子に掛け算して分母を有理化する。
\({\Large \frac{\,a\,}{\,\sqrt{b}\,}}={\Large \frac{\,a\,}{\,\sqrt{b}\,}}{\, \small \times \,}{\Large \frac{\,\sqrt{b}\,}{\,\sqrt{b}\,}}={\Large \frac{\,a\sqrt{b}\,}{\,b\,}}\)
■ 分母が多項式の有理化
① 分母の多項式の和→差(差→和)に変えた式を、分母分子に掛け算する。
② 分母を( )² ー ( )² を用いて展開する。
\(\begin{split}&{ \frac{\,a\,}{\,\sqrt{b}+\sqrt{c}\,}}\\[3pt]=~&{ \frac{\,a\,}{\,\sqrt{b}+\sqrt{c}\,}}{\, \small \times \,}{ \frac{\,\sqrt{b}-\sqrt{c}\,}{\,\sqrt{b}-\sqrt{c}\,}}\\[3pt]=~&{ \frac{\,a(\sqrt{b}-\sqrt{c})\,}{\,b-c\,}}\end{split}\)
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問題解説：分母の有理化
問題解説(1)
次の式の分母を有理化せよ。$${\small (1)}~\frac{\sqrt{6}-4}{\sqrt{2}}$$
$$~~~~~~\frac{\sqrt{6}-4}{\sqrt{2}}$$分母分子に \( \sqrt{2} \) をかけ算すると、$$~=\frac{\sqrt{6}-4}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$$$~=\frac{\sqrt{6}\times \sqrt{2}-4\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}$$$$~=\frac{\sqrt{12}-4\sqrt{2}}{2}$$$$~=\frac{\sqrt{2^2\times 3}-4\sqrt{2}}{2}$$$$~=\frac{2\sqrt{3}-4\sqrt{2}}{2}$$$$~=\sqrt{3}-2\sqrt{2}$$よって、答えは \( \sqrt{3}-2\sqrt{2} \) となります。
問題解説(2)
$$~~~~~~\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{3}}$$分母分子に \( 2+\sqrt{3} \) をかけ算すると、$$~=\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{3}}\times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$$$~=\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$$分子は分配法則を用いて、分母は乗法公式 \( (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \) より、$$~=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2^2-(\sqrt{3})^2}$$$$~=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4-3}$$$$~=2\sqrt{2}+\sqrt{6}$$よって、答えは \( 2\sqrt{2}+\sqrt{6} \) となります。
問題解説(3)
$$~~~~~~\frac{1}{\sqrt{3}-1}-\frac{1}{\sqrt{3}+1}$$左の項の分母分子には \( \sqrt{3}+1 \) を、右の項の分子には \( \sqrt{3}-1 \) をかけ算すると、$$~=\frac{1}{\sqrt{3}-1}\cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}-\frac{1}{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}$$$$~=\frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}-\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}$$乗法公式 \( (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \) より、$$~=\frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2-1^2}-\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3})^2-1^2}$$$$~=\frac{\sqrt{3}+1}{3-1}-\frac{\sqrt{3}-1}{3-1}$$$$~=\frac{\sqrt{3}+1}{2}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$$$~=\frac{(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)}{2}$$$$~=\frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1}{2}$$$$~=\frac{2}{2}=1$$
よって、答えは \( 1 \) となります。
今回のまとめ
平方根の有理化は計算過程で乗法公式を使えるように、分母分子に式をかけ算することが重要になります。計算が少々複雑になるので丁寧に計算していきましょう。
