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2種類以上の文字を含む式の因数分解①(1次式)

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今回の問題は「2種類以上の文字を含む式の因数分解①(1次式)」です。

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~xy+x-y-1$$$${\small (2)}~2x^2+2xy-x+y-1$$

 

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2種類以上の文字を含む式の因数分解

Point:因数分解の解法因数分解の解法の解法の手順は、
共通因数をみつけて、くくりだす。
公式やたすき掛けを用いる。
 
→ 共通部分がある場合は、
共通部分を他の文字に置き換えて①と②を考える。
 
→ 文字の種類が2つ以上の場合は、
次数の低い方の文字に着目し、その文字について整理する。
部分的に因数分解をする。
全体的に因数分解をする。

 

問題解説:2種類以上の文字を含む式の因数分解①(1次式)

問題解説(1)

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~xy+x-y-1$$

\(x\) と \(y\) のどちらに着目しても1次式となります。
\(x\) について着目し解いてみましょう。$$~~~~~~xy+x-y-1$$$$~=(y+1)x-y-1$$後半部分の\(-y-1\)を部分的に因数分解すると、$$~=(y+1)x-(y+1)$$全体的に因数分解すると、\((y+1)\) を共通因数としてくくりだせるので、$$~=(y+1)(x-1)$$\(x\) → \(y\) の順番になるように並び替えると、$$~=(x-1)(y+1)$$よって、答えは \((x-1)(y+1)\) となります。

 

【別解】
\(y\) について着目し解いてみましょう。$$~~~~~~xy+x-y-1$$$$~=(x-1)y+x-1$$$$~=(x-1)y+(x-1)$$全体的に因数分解すると、\((x-1)\) を共通因数としてくくりだせるので、$$~=(x-1)y+(x-1)\cdot 1$$$$~=(x-1)(y+1)$$よって、答えは \((x-1)(y+1)\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (2)}~2x^2+2xy-x+y-1$$

\(x\) について着目すると2次式、\(y\) について着目すると1次式となるので、次数の低い \(y\) について着目し整理すると、$$~~~~~~2x^2+2xy-x+y-1$$$$~=2xy+y+2x^2-x-1$$$$~=(2x+1)y+2x^2-x-1$$後半部分の \(2x^2-x-1\) を部分的に因数分解すると、たすき掛けの表より

$$~=(2x+1)y+(2x+1)(x-1)$$全体的に因数分解すると、\((2x+1)\) を共通因数としてくくりだせるので、$$~=(2x+1)\{y+(x-1)\}$$$$~=(2x+1)(y+x-1)$$$$=(2x+1)(x+y-1)$$よって、答えは \((2x+1)(x+y-1)\) となります。

 

今回のまとめ

2種類以上の文字を含む式の因数分解を解説しました。公式やたすき掛けを使うだけでは因数分解できない問題もあるので、因数分解の解法の手順は必ず覚えましょう!

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