今回の問題は「累乗の計算」です。
問題次の式を計算せよ。$${\small (1)}~(-3x^2y)^3$$$${\small (2)}~4a^2b^3 \times 3ab^2$$$${\small (3)}~(3xy)^3\times (-2xy^2)^2$$
Point：累乗と指数法則累乗は \(x^3=x {\, \small \times \,} x{\, \small \times \,} x\) のように、
「指数部分の数だけ文字(数字)を掛け算」
■ 指数法則
\(m~,~n\) を正の整数として、
\({\small (1)}~\)\(a\) の \(m\) 乗と \(a\) の \(n\) 乗の積は、
\(a^m{\, \small \times \,} a^n=a^{m+n}\)
\({\small (2)}~\)\(a\) の \(m\) 乗の \(n\) 乗は、
\((a^m)^n=a^{mn}\)
\({\small (3)}~\)\(ab\) の \(n\) 乗は、
\((ab)^n=a^nb^n\)
「指数部分の数だけ文字(数字)を掛け算」
■ 指数法則
\(m~,~n\) を正の整数として、
\({\small (1)}~\)\(a\) の \(m\) 乗と \(a\) の \(n\) 乗の積は、
\(a^m{\, \small \times \,} a^n=a^{m+n}\)
※ \(a\) が \(m\) 個と \(n\) 個あり、合計 \(m+n\) 個の掛け算と考える。
\({\small (2)}~\)\(a\) の \(m\) 乗の \(n\) 乗は、
\((a^m)^n=a^{mn}\)
※ \(a\) が \(m\) 個掛け算されているものが \(n\) 個あり、合計 \(m {\, \small \times \,} n\) 個の掛け算と考える。
\({\small (3)}~\)\(ab\) の \(n\) 乗は、
\((ab)^n=a^nb^n\)
※ \(a\) が \(n\) 個、\(b\) が \(n\) 個それぞれ掛け算。
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Point：単項式同士の積の計算
① ( )の累乗を先に計算する。
\(\begin{split}&3a^2b{\, \small \times \,}(-2ab)^3\\[2pt]~~=~&3a^2b{\, \small \times \,}(-2)^3{\, \small \times \,} a^3 {\, \small \times \,} b^3\\[2pt]~~=~&3a^2b{\, \small \times \,}(-8a^3b^3)\end{split}\)
② 係数同士、同じ文字同士を指数法則より計算。
\(\begin{split}~~=~&3{\, \small \times \,}(-8){\, \small \times \,} a^2{\, \small \times \,} a^3 {\, \small \times \,} b {\, \small \times \,} b^3\\[2pt]~~=~&-24a^5b^4\end{split}\)
単項式同士の積 \(3a^2b{\, \small \times \,}(-2ab)^3\) の計算は、
① ( )の累乗を先に計算する。
\(\begin{split}&3a^2b{\, \small \times \,}(-2ab)^3\\[2pt]~~=~&3a^2b{\, \small \times \,}(-2)^3{\, \small \times \,} a^3 {\, \small \times \,} b^3\\[2pt]~~=~&3a^2b{\, \small \times \,}(-8a^3b^3)\end{split}\)
② 係数同士、同じ文字同士を指数法則より計算。
\(\begin{split}~~=~&3{\, \small \times \,}(-8){\, \small \times \,} a^2{\, \small \times \,} a^3 {\, \small \times \,} b {\, \small \times \,} b^3\\[2pt]~~=~&-24a^5b^4\end{split}\)
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