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連立不等式の解

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今回の問題は「連立不等式の解」です。

問題次の不等式の解を求めよ。$${\small (1)}~\biggl\{ \begin{eqnarray} 2x-3<x+5 \\ 3x-9≦0 \end{eqnarray} $$$${\small (2)}~-x+3≦3x+1<x+7$$

 

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連立不等式の解法

Point:連立不等式の解連立不等式の解法の手順は、
① それぞれの不等式の解を求める。
② その解の範囲を数直線上に表す。
③ 2つの範囲の共通範囲が解となる。
共通範囲から解を求める方法は、

このときの解は、\(-1≦x<3\) となります。


このときの解は、\(3<x\) となります。
 
また、\(A<B<C\) の不等式は、

$$\biggl\{ \begin{eqnarray} A<B \\ B<C \end{eqnarray} $$

として計算できます。

 

問題解説:連立不等式の解

問題解説(1)

問題次の不等式の解を求めよ。$${\small (1)}~\biggl\{ \begin{eqnarray} 2x-3<x+5 \\ 3x-9≦0 \end{eqnarray} $$

$$~~~\biggl\{ ~~\begin{eqnarray} 2x-3<x+5 ~~~\cdots ① \\ 3x-9≦0~~~ \cdots ②\end{eqnarray} $$①の不等式について、$$~~~2x-3<x+5$$\(-3\) を右辺に、\(x\) を左辺に移項すると、$$~~~2x-x<5+3$$$$\hspace{32pt}x<8$$よって、\(x<8\) となります。

②の不等式について、$$~~~~~3x-9≦0$$\(-9\) を右辺に移項すると、$$\hspace{28pt}3x≦9$$両辺を \(3\) でわり算すると、不等号の向きはそのままなので、$$\hspace{35pt}x≦3$$よって、\(x≦3\) となります。

したがって、それぞれの解の範囲より、

答えは、\(x≦3\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の不等式の解を求めよ。$${\small (2)}~-x+3≦3x+1<x+7$$

この連立不等式は
$$~~~\biggl\{~~ \begin{eqnarray} -x+3≦3x+1~~\cdots ① \\ 3x+1<x+7~~\cdots ②\end{eqnarray} $$として求めることができます。

①の不等式について、$$~~~-x+3≦3x+1$$\(3\) を右辺に、\(3x\) を左辺に移項すると、$$\hspace{7pt}-x-3x≦1-3$$$$\hspace{25pt}-4x≦-2$$\(-4\) で両辺をわり算すると、不等号の向きが逆になるので、$$\hspace{37pt}x≧\frac{1}{2}$$よって、\(x≧\Large{\frac{1}{2}}\) となります。

②の不等式について、$$~~~3x+1<x+7$$\(1\) を右辺に、\(x\) を左辺に移項すると、$$\hspace{5pt}3x-x<7-1$$$$\hspace{23pt}2x<6$$\(2\) で両辺をわり算すると、不等号の向きはそのままなので、$$\hspace{31pt}x<3$$よって、\(x<3\) となります。

したがって、それぞれの解の範囲より、

答えは、\({\Large\frac{1}{2}}≦x<3\) となります。

 

今回のまとめ

連立不等式は範囲を数直線上に表し、その共通範囲より解を求めることになります。共通範囲の読み取りに注意しましょう!

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