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1次不等式の解

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今回の問題は「1次不等式の解」です。

問題次の不等式の解を求めよ。$${\small (1)}~x-5>3(7x-5)$$$${\small (2)}~\frac{x+1}{2}≦\frac{2x+4}{3}$$$${\small (3)}~\frac{x-1}{2}+\frac{2x+3}{3}>x-2$$

 

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1次不等式の解法

Point:1次不等式の解1次方程式では解が \(x=1\) のように特定の \(x\) となっていました。1次不等式の解は \(x>1\) のようになり数直線で表すと、

このようになり \(x\) の範囲が答えとなります。このように \(x\) の範囲を求めることが1次不等式の解を求めることになります。
 
解法は1次方程式と同じで移項を利用して計算していきます。しかし、マイナスの数を両辺にかけ算やわり算するときに不等号の向きが逆になることに注意しましょう。
 
これは、\(3<5\) において、
\(2\) をかけ算した場合は、\(6<10\) となり大小関係はそのままです。 \(-2\) をかけ算した場合は、\(-6>-10\) となり大小関係が逆になるので、不等号の向きが逆になります。

 

問題解説:1次不等式の解

問題解説(1)

問題次の不等式の解を求めよ。$${\small (1)}~x-5>3(7x-5)$$

$$~~~~x-5>3(7x-5)$$$$~~~~x-5>21x-15$$\(-5\) を右辺に、\(21x\) を左辺に移項すると、$$~~x-21x>-15+5$$$$\hspace{16pt}-20x>-10$$両辺を \(-20\) でわり算すると、不等号の向きが逆になるので、$$~~~\frac{-20x}{-20}<\frac{-10}{-20}$$$$\hspace{29pt}x<\frac{1}{2}$$よって、答えは \({\Large \frac{1}{2}}\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の不等式の解を求めよ。$${\small (2)}~\frac{x+1}{2}≦\frac{2x+4}{3}$$

$$~~~\frac{x+1}{2}≦\frac{2x+4}{3}$$両辺に \(6\) をかけ算すると、不等号の向きはそのままなので、$$\hspace{10pt} \left( \frac{x+1}{2} \right)\times 6≦\left( \frac{2x+4}{3} \right)\times 6$$$$\hspace{20pt} (x+1)\times 3≦(2x+4)\times 2$$$$\hspace{39pt} 3x+3≦4x+8$$\(3\) を右辺に、\(4x\) を左辺に移項すると、$$\hspace{10pt} 3x-4x≦8-3$$$$\hspace{30pt} -x≦5$$\(-1\) を両辺にかけ算すると、不等号の向きが逆になるので、$$\hspace{37pt}x≧-5$$よって、答えは \(x≧-5\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の不等式の解を求めよ。$${\small (3)}~\frac{x-1}{2}+\frac{2x+3}{3}>x-2$$

$$~~~\frac{x-1}{2}+\frac{2x+3}{3}>x-2$$両辺に \(6\) をかけ算すると、不等号の向きはそのままなので、$$\hspace{15pt}\left( \frac{x-1}{2}+\frac{2x+3}{3} \right)\times 6>(x-2)\times 6$$$$~(x-1)\times 3+(2x+3)\times 2>(x-2)\times 6$$$$\hspace{47pt}3x-3+4x+6>6x-12$$左辺の同類項をまとめると、$$~~~7x+3>6x-12$$\(3\) を右辺に、\(6x\) を左辺に移項すると、$$~~7x-6x>-12-3$$$$\hspace{35pt}x>-15$$よって、答えは \(x>-15\) となります。

 

今回のまとめ

1次不等式の解の求め方は計算自体は簡単です。しかし、マイナスの数をかけ算やわり算するとき不等号の向きが逆になることは注意して計算していきましょう!

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