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二重根号

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今回の問題は「二重根号」です。

問題次の式を二重根号のない式で表せ。$${\small (1)}~\sqrt{6-\sqrt{20}}$$$${\small (2)}~\sqrt{14+4\sqrt{10}}$$$${\small (3)}~\sqrt{2+\sqrt{3}}$$

 

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二重根号の解法

Point:二重根号二重根号の含まない式にするためには、$$~~~\sqrt{a+b \pm 2\sqrt{ab}}$$に式変形する必要があります。
中のルートの係数が必ず「2」である点に注意しましょう。
この式に変形し、\( a+b~,~ab \) となる2つの数 \( a~,~b \) を見つければ二重根号を含まない式にできます。

$$~~~~~~\sqrt{a+b \pm 2\sqrt{ab}}~~$$$$~=\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$$

ただし、\( a>b \) となります。
 
例えば、\( \sqrt{7 – 2\sqrt{10}} \) のとき、
中のルートの係数が \( 2 \) で、\( 5+2=7~,~5\times 2=10 \) であることより、$$~~~~~~\sqrt{7- 2\sqrt{10}}$$$$~=\sqrt{(5+2)- 2\sqrt{5\times 2}}$$$$~=\sqrt{5} – \sqrt{2}$$よって、\( \sqrt{5} – \sqrt{2} \) となります。

 

問題解説:二重根号

問題解説(1)

問題次の式を二重根号のない式で表せ。$${\small (1)}~\sqrt{6-\sqrt{20}}$$

まずは中のルートの係数を 2 にするために式変形しましょう。$$~~~~~~\sqrt{6-\sqrt{20}}$$$$~=\sqrt{6-\sqrt{2^2\times 5}}$$$$~=\sqrt{6-2\sqrt{5}}$$ここで、和が \( 6 \) で積が \( 5 \) となる2数を考えると、\( 5+1=6~,~5\times 1=5 \) であることより、$$~=\sqrt{(5+1)-2\sqrt{5\times 1}}$$$$~=\sqrt{5}-\sqrt{1}$$$$~=\sqrt{5}-1$$よって、答えは \( \sqrt{5} – 1 \) となります。

 

問題解説(2)

問題次の式を二重根号のない式で表せ。$${\small (2)}~\sqrt{14+4\sqrt{10}}$$

まずは中のルートの係数を 2 にするために式変形しましょう。$$~~~~~~\sqrt{14+4\sqrt{10}}$$$$~=\sqrt{14+2\times 2\sqrt{10}}$$\(2=\sqrt{4}\) より、$$~=\sqrt{14+2\sqrt{4\times 10}}$$$$~=\sqrt{14+2\sqrt{40}}$$ここで、和が \( 14 \) で積が \( 40 \) となる2数を考えると、\( 10+4=14~,~10\times 4=40 \) であることより、$$~=\sqrt{(10+4)+2\sqrt{10\times 4}}$$$$~=\sqrt{10}+\sqrt{4}$$$$~=\sqrt{10}+2$$よって、答えは \( \sqrt{10}+2 \) となります。

 

問題解説(3)

問題次の式を二重根号のない式で表せ。$${\small (3)}~\sqrt{2+\sqrt{3}}$$

この問題では(1)、(2)のように平方根の式変形では中のルートの係数を 2 にできません。よって、係数に 2 を作るためにルートの中の式に \( \large \frac{2}{2} \) をかけ算しましょう。$$~~~~~~\sqrt{2+\sqrt{3}}$$$$~=\sqrt{(2+\sqrt{3})\times \frac{2}{2} }$$分配法則より、$$~=\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}$$分母分子に分けると、$$~=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$$ここで分子の中のルートの係数が 2 であり、和が \( 4 \) で積が \( 3 \) となる2数を考えると、\( 3+1=4~,~3\times 1=3 \) であることより、$$~=\frac{\sqrt{(3+1)+2\sqrt{3\times 1}}}{\sqrt{2}}$$$$~=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$$$$~=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$$分母を有理化するために、分母分子に \( \sqrt{2} \) をかけ算すると、$$~=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$$$~=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{2}+1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$$$$~=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$$
よって、答えは \( {\Large \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}} \) となります。

 

今回のまとめ

二重根号を含まない式にするためには様々な式変形が必要となります。特にこの問題(3)の解法は特殊ですので、しっかりと理解して計算できるようになりましょう。

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