今回の問題は「二重根号」です。
問題次の式を二重根号のない式で表せ。$${\small (1)}~\sqrt{6-\sqrt{20}}$$$${\small (2)}~\sqrt{14+4\sqrt{10}}$$$${\small (3)}~\sqrt{2+\sqrt{3}}$$
Point：二重根号の外し方ルートの中にルートを含む二重根号は、
① 与えられた式を次の形に式変形する。
\(\sqrt{\,(a+b) \pm 2\sqrt{ab}\,}\)
(※ 内側のルートの係数を \(2\) にする。)
② \( a+b~,~ab \) となる２つの数 \( a~,~b \) を見つけて、次のように式変形する。(ただし、\(a> b\))
\(\sqrt{\,(a+b) \pm 2\sqrt{ab}\,}=\sqrt{a} \pm \sqrt{b}\)
\( \sqrt{\,3+\sqrt{5}\,} \) では、
① 内側のルートの係数が \(2\) にできないので、分母分子に \(\sqrt{2}\) を掛ける。
② 分子を二重根号の外し方で計算する。
③ 分母を有理化してさらに計算する。
① 与えられた式を次の形に式変形する。
\(\sqrt{\,(a+b) \pm 2\sqrt{ab}\,}\)
(※ 内側のルートの係数を \(2\) にする。)
② \( a+b~,~ab \) となる２つの数 \( a~,~b \) を見つけて、次のように式変形する。(ただし、\(a> b\))
\(\sqrt{\,(a+b) \pm 2\sqrt{ab}\,}=\sqrt{a} \pm \sqrt{b}\)
■ 中のルートの係数を \(2\) にできない場合
\( \sqrt{\,3+\sqrt{5}\,} \) では、
① 内側のルートの係数が \(2\) にできないので、分母分子に \(\sqrt{2}\) を掛ける。
\(\begin{split} ~~~~~~\frac{\,\sqrt{\,3+\sqrt{5}\,}{\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}{\,1{\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}=\frac{\,\sqrt{\,6+2\sqrt{5}\,}\,}{\,\sqrt{2}\,}\end{split}\)
② 分子を二重根号の外し方で計算する。
\(\begin{split} ~~~=\frac{\,\sqrt{\,(5+1)+2\sqrt{5{\, \small \times \,} 1}\,}\,}{\,\sqrt{2}\,}=\frac{\,\sqrt{5}+1\,}{\,\sqrt{2}\,}\end{split}\)
③ 分母を有理化してさらに計算する。
\(\begin{split} ~~~=\frac{\,(\sqrt{5}+1){\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}=\frac{\,\sqrt{10}+\sqrt{2}\,}{\,2\,}\end{split}\)
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