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3次式の展開

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今回の問題は「3次式の展開」です。

問題次の式を展開せよ。$${\small (1)}~(3x-1)^3$$$${\small (2)}~(x+2y)^3$$$${\small (3)}~(3x+2)(9x^2-6x+4)$$$${\small (4)}~(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$$

 

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3次式の乗法公式

Point:3次式の乗法公式3次式の乗法公式①

この立体図形では値を読み取るのが難しいので、手前の部分と奥の部分に分けて考えましょう。

上の図より、\( a^3 \) が1つ、\( a^2b \) が3つ、\( ab^2 \) が3つ、\( b^3 \) が1つとなるので、

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

 
また、\( b \) → \( -b \) とすると$$~~~\{a+(-b)\}^3$$$$~~~~=a^3+3a^2(-b)+3a(-b)^2+(-b)^3$$よって、

$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$

 

3次式の乗法公式②

上の面積図より、\( a^2b \) と \( ab^2 \) はともに消えるので、

$$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$$

 
また、\( b \) → \( -b \) とすると$$~~~\{a+(-b)\}\{a^2-a(-b)+(-b)^2\}$$$$~~~~~=a^3+(-b)^3$$よって、

$$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$$

また、このときの面積図は次のようになります。

 

問題解説:3次式の展開

問題解説(1)

問題次の式を展開せよ。$${\small (1)}~(3x-1)^3$$

$$~~~~~~(3x-1)^3$$$$~=(3x)^3-3\cdot (3x)^2 \cdot 1 +3\cdot (3x) \cdot 1^2 -1^3$$$$~=27x^3-27x^2+9x-1$$よって、答えは \( 27x^3-27x^2+9x-1 \) となります。

 

問題解説(2)

問題次の式を展開せよ。$${\small (2)}~(x+2y)^3$$

3次式の乗法公式より、$$~~~~~~(x+2y)^3$$$$~=x^3-3\cdot x^2 \cdot (2y) +3\cdot x \cdot (2y)^2 +(2y)^3$$$$~=x^3+3\cdot 2x^2y+3\cdot 4 xy^2+8y^3$$$$~=x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3$$よって、答えは \( x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3 \) となります。

 

問題解説(3)

問題次の式を展開せよ。$${\small (3)}~(3x+2)(9x^2-6x+4)$$

公式②を使うためには後半の3つの項が \( (a^2-ab+b^2) \) となっているか確認が必要です。この問題では、$$~~~(3x)^2-(3x)\times 2+2^2=9x^2-6x+4$$よって、\( (a^2-ab+b^2) \) となっている。公式を用いると、$$~~~~~~(3x+2)(9x^2-6x+4)$$$$~=(3x)^3+2^3$$$$~=27x^3+8$$よって、答えは \( 27x^3+8 \) となります。

 

問題解説(4)

問題次の式を展開せよ。$${\small (4)}~(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$$

公式②を使うために後半の3つの項が \( (a^2+ab+b^2) \) となっているか確認すると、$$~~~(2x)^2+(2x)\times y+y^2=4x^2+2xy+y^2$$よって、\( (a^2-ab+b^2) \) となっている。公式を用いると、$$~~~~~~(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$$$$~=(2x)^3-y^3$$$$~=8x^3-y^3$$よって、答えは \( 8x^3-y^3 \) となります。

 

今回のまとめ

3次式の乗法公式②は公式が使えるかどうかの確認が必要です。もし使えない形だった場合は分配法則を用いて展開しましょう!

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