今回の問題は「式の展開の工夫」です。
問題次の式を展開せよ。$${\small (1)}~(a+b-2c)(a-b-2c)$$$${\small (2)}~(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$$
Point：共通部分(同じ式)を置き換える式の展開複雑な式の展開の問題 \((a+b+c)^2\) は、
① 共通部分を他の文字で置き換える。
\(a+b=t\) とすると、
\((a+b+c)^2=(t+c)^2\)
② \(t\) の式として展開する。
\((t+c)^2=t^2+2ct+c^2\)
③ \(t\) をもとの式に戻し、さらに展開する。
\(t=a+b\) と戻して、展開すると、
\(\begin{split}&(a+b)^2+2c(a+b)+c^2\\[2pt]~=~&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{split}\)
また、\((x+y+3)(x+y-2)\) の展開でも、
\(x+y=t\) と置き換えて展開できる。
① 共通部分を他の文字で置き換える。
\(a+b=t\) とすると、
\((a+b+c)^2=(t+c)^2\)
② \(t\) の式として展開する。
\((t+c)^2=t^2+2ct+c^2\)
③ \(t\) をもとの式に戻し、さらに展開する。
\(t=a+b\) と戻して、展開すると、
\(\begin{split}&(a+b)^2+2c(a+b)+c^2\\[2pt]~=~&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{split}\)
また、\((x+y+3)(x+y-2)\) の展開でも、
\(x+y=t\) と置き換えて展開できる。
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Point：展開の順序や組合せの工夫
\((x^2+9)(x+3)(x-3)\)
※ \((x^2+9)(x+3)\) を先に展開すると式が複雑になり、その後の計算が大変になる。
① 展開した式に共通部分が出てくるように、順序や組合せを工夫して展開する。
後半部分を先に展開すると、
\(\begin{split}&(x^2+9)(x+3)(x-3)\\[2pt]~~=~&(x^2+9)(x^2-9)\end{split}\)
② 共通部分を利用して、全体を展開する。
\(x^2\) の１つの文字として展開すると、
\(\begin{split}~~=~&(x^2+9)(x^2-9)\\[2pt]~~=~&x^4-81\end{split}\)
そのままの順序で計算すると複雑になる場合は、
\((x^2+9)(x+3)(x-3)\)
※ \((x^2+9)(x+3)\) を先に展開すると式が複雑になり、その後の計算が大変になる。
① 展開した式に共通部分が出てくるように、順序や組合せを工夫して展開する。
後半部分を先に展開すると、
\(\begin{split}&(x^2+9)(x+3)(x-3)\\[2pt]~~=~&(x^2+9)(x^2-9)\end{split}\)
② 共通部分を利用して、全体を展開する。
\(x^2\) の１つの文字として展開すると、
\(\begin{split}~~=~&(x^2+9)(x^2-9)\\[2pt]~~=~&x^4-81\end{split}\)
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