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2次式の展開と乗法公式

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今回の問題は「2次式の展開と乗法公式」です。

問題次の式を展開せよ。$${\small (1)}~(3x-2y)^2$$$${\small (2)}~(3x+y)(3x-y)$$$${\small (3)}~(x-1)(x+3)$$$${\small (4)}~(2x+3)(x-4)$$

 

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乗法公式

Point:乗法公式乗法公式①

上の面積図より、\( a^2+ab+ab+b^2\) となるので、

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

 
また、\( b \) → \( -b \) とすると$$~~~\{a+(-b)\}^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2$$よって、

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

また、この面積図は次のようになります。

 
乗法公式②

上の面積図より、\( a^2+ab-ab+b^2\) となり\( ab\) と \( -ab\) は消えるので、

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

 
乗法公式③

上の面積図より、\( x^2+ax+bx+ab\) となるので、

$$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$$

 
乗法公式④

上の面積図より、\( acx^2+adx+bcx+bd\) となるので、

$$~~~(ax+b)(cx+d)$$$$\hspace{30pt}=acx^2+(ad+bc)x+bd~~~$$

 

問題解説:2次式の展開と乗法公式

問題解説(1)

問題次の式を展開せよ。$${\small (1)}~(3x-2y)^2$$

$$~~~~~~(3x-2y)^2$$$$~=(3x)^2-2\cdot 3x \cdot 2y +(2y)^2$$$$~=9x^2-12xy+4y^2$$よって、答えは \( 9x^2-12xy+4y^2 \) となります。

 

問題解説(2)

問題次の式を展開せよ。$${\small (2)}~(3x+y)(3x-y)$$

$$~~~~~~(3x+y)(3x-y)$$$$~=(3x)^2-y^2$$$$~=9x^2-y^2$$よって、答えは \( 9x^2-y^2 \) となります。

 

問題解説(3)

問題次の式を展開せよ。$${\small (3)}~(x-1)(x+3)$$

$$~~~~~~(x-1)(x+3)$$$$~=x^2+(-1+3)x+(-1)\times 3$$$$~=x^2+2x-3$$よって、答えは \( x^2+2x-3 \) となります。

 

問題解説(4)

問題次の式を展開せよ。$${\small (4)}~(2x+3)(x-4)$$

$$~~~~~~(2x+3)(x-4)$$$$~=2\cdot 1 \cdot x^2+\{ 2\cdot (-4)+3\cdot 1 \}x+3\cdot (-4)$$$$~=2x^2+(-8+3)x-12$$$$~=2x^2-5x-12$$よって、答えは \( 2x^2-5x-12 \) となります。

 

今回のまとめ

乗法公式を解説していきました。それぞれの乗法公式を覚えて、計算ミスをしないように丁寧に計算していきましょう。

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