３次式の乗法公式
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
※ 展開したそれぞれの単項式が、
( \(a\) の３乗)
\(3{\, \small \times \,}\)( \(a\) の２乗)\({\, \small \times \,}\)( \(b\) の１乗)
\(3{\, \small \times \,}\)( \(a\) の１乗)\({\, \small \times \,}\)( \(b\) の２乗)
( \(b\) の３乗)
の形となる。
■ ( )³ ± ( )³ に展開
\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\)
\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)
※ この公式が使えない式は、分配法則で展開。
©︎ 2024 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
問題解説：３次式の展開
問題解説(1)
$$~~~~~~(3x-1)^3$$$$~=(3x)^3-3\cdot (3x)^2 \cdot 1 +3\cdot (3x) \cdot 1^2 -1^3$$$$~=27x^3-27x^2+9x-1$$よって、答えは \( 27x^3-27x^2+9x-1 \) となります。
問題解説(2)
３次式の乗法公式より、$$~~~~~~(x+2y)^3$$$$~=x^3-3\cdot x^2 \cdot (2y) +3\cdot x \cdot (2y)^2 +(2y)^3$$$$~=x^3+3\cdot 2x^2y+3\cdot 4 xy^2+8y^3$$$$~=x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3$$よって、答えは \( x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3 \) となります。
問題解説(3)
公式②を使うためには後半の３つの項が \( (a^2-ab+b^2) \) となっているか確認が必要です。この問題では、$$~~~(3x)^2-(3x)\times 2+2^2=9x^2-6x+4$$よって、\( (a^2-ab+b^2) \) となっている。公式を用いると、$$~~~~~~(3x+2)(9x^2-6x+4)$$$$~=(3x)^3+2^3$$$$~=27x^3+8$$よって、答えは \( 27x^3+8 \) となります。
問題解説(4)
公式②を使うために後半の３つの項が \( (a^2+ab+b^2) \) となっているか確認すると、$$~~~(2x)^2+(2x)\times y+y^2=4x^2+2xy+y^2$$よって、\( (a^2-ab+b^2) \) となっている。公式を用いると、$$~~~~~~(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$$$$~=(2x)^3-y^3$$$$~=8x^3-y^3$$よって、答えは \( 8x^3-y^3 \) となります。
今回のまとめ
３次式の乗法公式②は公式が使えるかどうかの確認が必要です。もし使えない形だった場合は分配法則を用いて展開しましょう！
