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1次不等式の文章問題

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今回の問題は「1次不等式の文章問題」です。

問題みかんが1箱50個入り1500円で売られており、51個目からは1個あたり20円で売られている。このとき、みかん1個あたりの値段が23円以上27円以下となるには、みかんを何個以上何個以下買うときか答えよ。

 

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1次不等式の文章問題

Point:1次不等式の文章問題1次不等式の文章問題では文章の読み取りが重要となります。ポイントは2つあり、
求めたい値を \(x\) とする。
② 「〜以上にしたい」や「〜以上〜未満になる」などの文を不等式にする。
この2つを考えながら解いていきましょう。

 

問題解説:1次不等式の文章問題

問題みかんが1箱50個入り1500円で売られており、51個目からは1個あたり20円で売られている。このとき、みかん1個あたりの値段が23円以上27円以下となるには、みかんを何個以上何個以下買うときか答えよ。

「みかんを何個以上何個未満にすれば」とあるのでみかんの個数を \(x\) とします。
また、「みかん1個あたりの値段が23円以上27円以下」とあるので、
 23≦(みかん1個の値段)≦27
この不等式を立てましょう。
 
50個入りで1500円より、このセットだけ買うとみかん1個あたりは、$$~~~\frac{1500}{50}=30$$よって、30円となるのでみかん1個あたりの値段を23円以上27円以下にするためには \(x>50\) となります。

\(x>50\) として、みかんを \(x\) 個買うとき50個を超えたみかんの個数 \(x-50\) は1個あたり20円となるので、50個を超えたみかんの値段の合計は、$$~~~(x-50)\times 20$$となり、表にまとめると

みかん 50個まで 超えた分 \(x-50\) 個
1個の値段 30円 20円
合計代金 1500円 \(20(x-50)\)円

よって、みかん \(x\) 個の値段の合計は、$$~~~1500+20(x-50)$$となります。
したがって、みかん \(x\) 個の1個あたりの値段は、みかんの個数 \(x\) で割ればよいので、$$~~~\frac{1500+20(x-50)}{x}$$となります。
よって、これが
 23≦(みかん1個の値段)≦27
を満たせばよいので、$$~~~23≦\frac{1500+20(x-50)}{x}≦27$$この不等式は$$~~~ \begin{eqnarray} 23≦\frac{1500+20(x-50)}{x}~~\cdots① \\ \frac{1500+20(x-50)}{x}≦27~~\cdots ② \end{eqnarray} $$と分けられます。
 
①の不等式において、$$~~~23≦\frac{1500+20(x-50)}{x}$$両辺に \(x\) をかけ算すると、\(x>50\) より不等号の向きはそのままなので、$$\hspace{5pt}23\times x≦\frac{1500+20(x-50)}{x}\times x$$$$\hspace{17pt}23x≦1500+20(x-50)$$$$\hspace{17pt}23x≦1500+20x-1000$$$$\hspace{17pt}23x≦500+20x$$\(20x\) を左辺に移項すると、$$\hspace{5pt}23x-20x≦500$$$$\hspace{37pt}3x≦500$$両辺を \(3\) で割ると、不等号の向きはそのままなので、$$\hspace{40pt}x≦\frac{500}{3}=166.6\cdots $$
 
②の不等式において、$$~~~\frac{1500+20(x-50)}{x}≦27$$両辺に \(x\) をかけ算すると、\(x>50\) より不等号の向きはそのままなので、$$\hspace{5pt}\frac{1500+20(x-50)}{x}\times x≦27\times x$$$$\hspace{25pt}1500+20(x-50)≦27x$$$$\hspace{23pt}1500+20x-1000≦27x$$$$\hspace{58pt}500+20x≦27x$$\(500\) を右辺に、\(27x\) を左辺に移項すると、$$\hspace{5pt}20x-27x≦-500$$$$\hspace{28pt}-7x≦-500$$両辺に \(-7\) をかけ算すると、不等号の向きが逆になるので、$$\hspace{43pt}x≧\frac{500}{7}=71.4\cdots$$
 
これらの不等式の解を数直線上に表すと、

数直線より答えは、みかんを \(72\) 個以上 \(166\) 個以下買えばよいことになります。

 

今回のまとめ

文章問題を解く上で大事な2つのポイントは覚えておきましょう!また、1次不等式の文章題では整数の解を答えることが多いので、整数の解も求められるように練習しましょう。

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