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場合分けの必要な絶対値を含む方程式と不等式

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今回の問題は「場合分けの必要な絶対値を含む方程式と不等式」です。

問題次の方程式・不等式を解け。$${\small (1)}~|x-2|=2x-7$$$${\small (2)}~|x-3|≧5x+1$$

 

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場合分けの必要な絶対値を含む方程式と不等式の解法

Point:場合分けの必要な絶対値を含む方程式と不等式例えば、\(|x-3|=2x+1\) を考えてみましょう。
数直線上に表したいのですが、\(2x+1\) は変数 \(x\) が入っており数直線上のどの点か定まりません。
このように絶対値が付いてない方に \(x\) が入っている場合は、「絶対値の中の正負」で場合分けをして解きましょう!
 
\(|x-3|=2x+1\) において、
(ⅰ) \(x-3≧0\) のとき
このとき \(x\) の値の範囲は、\(x-3≧0\) より \(x≧3\) となります。
絶対値の中が正となるので、絶対値はそのまま外せます。よって、$$~~~x-3=2x+1$$計算すると、\(x=-4\) となります。これは場合分けをしたときに出てきた \(x\) の範囲である \(x≧3\) をこの解は満たしません。よって、\(x=-4\) は解になりません。これを「\(x=-4\) は不適」と表現します。
 
(ⅱ) \(x-3<0\) のとき
このとき \(x\) の値の範囲は、\(x-3<0\) より \(x<3\) となります。
絶対値の中が負となるので、絶対値はマイナスを付けて外します。よって、$$~~~-(x-3)=2x+1$$計算すると、\(x={\Large \frac{2}{3}}\) となります。
ここで場合分けをしたときに出てきた \(x\) の範囲である \(x<3\) をこの解は満たします。よって、\(x={\Large \frac{2}{3}}\) は解となります。
 
(ⅰ)と(ⅱ)より、答えは \(x={\Large \frac{2}{3}}\) となります。
 
このように場合分けをしたときに \(x\) の範囲が制限されるので、その範囲内に解があるか確認しましょう。

 

問題解説:場合分けの必要な絶対値を含む方程式と不等式

問題解説(1)

問題次の方程式・不等式を解け。$${\small (1)}~|x-2|=2x-7$$

(ⅰ) \(x-2≧0\) のとき
\(x-2≧0\) より、\(x\) の範囲は \(x≧2\) となります。
絶対値をそのまま外せるので、$$~~~x-2=2x-7$$\(-2\) を左辺に、\(2x\) を右辺に移項すると、$$~x-2x=-7+2$$$$\hspace{18pt}-x=-5$$$$\hspace{26pt}x=5$$これは \(x≧2\) の範囲を満たす。よって、\(x=5\) となります。
 
(ⅱ) \(x-2<0\) のとき
\(x-2<0\) より、\(x\) の範囲は \(x<2\) となります。
絶対値はマイナスを付けて外すので、$$~~-(x-2)=2x-7$$$$~~~~~-x+2=2x-7$$\(2\) を左辺に、\(2x\) を右辺に移項すると、$$~-x-2x=-7-2$$$$\hspace{24pt}-3x=-9$$$$\hspace{37pt}x=3$$これは \(x<2\) の範囲を満たしません。よって、\(x=3\) は不適となります。
 
(ⅰ)と(ⅱ)より、答えは \(x=5\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の方程式・不等式を解け。$${\small (2)}~|x-3|≧5x+1$$

(ⅰ) \(x-3≧0\) のとき
\(x-3≧0\) より、\(x\) の範囲は \(x≧3\) となります。
絶対値をそのまま外せるので、$$~~~~x-3≧5x+1$$\(-3\) を左辺に、\(5x\) を右辺に移項すると、$$~~x-5x≧1+3$$$$\hspace{17pt}-4x≧4$$\(-4\) で両辺をわり算すると、不等号の向きが逆になるので、$$\hspace{28pt}x≦-1$$これと、\(x≧3\) に共通範囲より、

共通範囲がないので不適となります。
 
(ⅱ) \(x-3<0\) のとき
\(x-3<0\) より、\(x\) の範囲は \(x<3\) となります。
絶対値はマイナスを付けて外すので、$$~~~-(x-3)≧5x+1$$$$~~~~~-x+3≧5x+1$$\(3\) を左辺に、\(5x\) を右辺に移項すると、$$~~-x-5x≧1-3$$$$\hspace{27pt}-6x≧-2$$\(-6\) で両辺をわり算すると、不等号の向きが逆になるので、$$\hspace{40pt}x≦\frac{-2}{-6}$$$$\hspace{40pt}x≦\frac{1}{3}$$これと、\(x<3\) の共通範囲より

答えは \(x≦{\Large \frac{1}{3}}\) となります。
 
(ⅰ)と(ⅱ)より、答えは \(x≦{\Large \frac{1}{3}}\) となります。

 

今回のまとめ

難しいパターンの絶対値を含む式の解法を解説していきました。絶対値を場合分けを用いて解く方法は、方程式や不等式だけでなく様々な単元で用いますのでしっかりと覚えておきましょう。

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