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因数分解の工夫

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今回の問題は「因数分解の工夫」です。

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~a(x+y)-b(x+y)$$$${\small (2)}~a(b-2)+(2-b)$$$${\small (3)}~(x-1)^2-3(x-1)+2$$$${\small (4)}~(x^2+4x)^2-2(x^2+4x)-15$$

 

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因数分解の工夫

Point:因数分解の工夫共通部分のある因数分解は、
共通部分を1つにまとめて、他の文字に置き換えて因数分解します。
置き換えた文字を元の式に戻します。

 

問題解説:因数分解の工夫

問題解説(1)

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~a(x+y)-b(x+y)$$

\(x+y \) が共通因数としてくくりだせるので、$$~~~~~~a(x+y)-b(x+y)$$$$~=(x+y)(a-b)$$よって、答えは \((x+y)(a-b)\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (2)}~a(b-2)+(2-b)$$

\(b-2 \) と \(2-b \) はこのままでは共通因数ではありません。ここで、\(2-b \) をマイナスでくくると、\(-(b-2) \) となり \(b-2 \) を共通因数として計算できます。$$~~~~~~a(b-2)+(2-b)$$$$~=a(b-2)-(b-2)$$$$~=(b-2)(a-1)$$\(a \) → \(b \) の順に並び変えると、$$~=(a-1)(b-2)$$よって、答えは \( (a-1)(b-2) \) となります。

 

問題解説(3)

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (3)}~(x-1)^2-3(x-1)+2$$

\(x-1 \) を共通部分として、\(x-1=t \) と置き換えると、$$~~~~~~(x-1)^2-3(x-1)+2$$$$~=t^2-3t+2$$ここで、\(t \) についての2次式として因数分解すると、$$~=(t-2)(t-1)$$\(t=x-1 \) と元に戻すと、$$~=\{(x-1)-2\}\{(x-1)-1\}$$$$~=(x-3)(x-2)$$よって、答えは \( (x-3)(x-2) \) となります。

 

問題解説(4)

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (4)}~(x^2+4x)^2-2(x^2+4x)-15$$

\(x^2+4x \) を共通部分として、\(x^2+4x=t \) と置き換えると、$$~~~~~~(x^2+4x)^2-2(x^2+4x)-15$$$$~=t^2-2t-15$$ここで、\(t \) についての2次式として因数分解すると、$$~=(t-5)(t+3)$$\(t=x^2+4x \) と元に戻すと、$$~=\{(x^2+4x)-5\}\{(x^2+4x)+3\}$$$$~=(x^2+4x-5)(x^2+4x+3)$$この式はそれぞれまだ因数分解できるので、$$~=(x-1)(x+5)(x+1)(x+3)$$よって、答えは \((x-1)(x+5)(x+1)(x+3)\) となります。

 

今回のまとめ

因数分解の工夫でも共通部分を見つけることが重要になります。また、因数分解は最後までやることを忘れないようにしましょう。

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