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多項式の次数と定数項

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今回の問題は「多項式の次数と定数項」です。

問題次の多項式を、\(a\) について降べきの順に整理し何次式になるか答えよ。また、定数項を求めよ。$${\small (1)}~5-2a^2-5a+3a^2+7a+3$$$${\small (2)}~3ab-b+4+2a^2b-2a+2b^2-4a^2$$

 

Point:多項式の同類項をまとめる多項式を整理するときは、
 ① 同類項(=次数が同じ項)を並べる。
 ② 同類項を計算する。
 ③ 降べきの順に整理する。


※ 降べきの順は、次数の高い項から順に並べる


例えば、\(x^2-3x+2+5x^2+4x-3\) では、


  \(x^2\) と \(5x^2\) (2次式)


  \(-3x\) と \(4x\) (1次式)


  \(+2\) と \(-3\) (定数項)


 がそれぞれ同類項
より、


\(\begin{split}&x^2-3x+2+5x^2+4x-3\\[2pt]~~=~&x^2+5x^2-3x+4x+2-3\\[2pt]~~=~&(1+5)x^2+(-3+4)x+(2-3)\\[2pt]~~=~&6x^2+x-1\end{split}\)


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Point:多項式の次数と定数項

多項式の次数と定数項は、
 ① 1つ1つの項の次数を考える。
 ② 一番高い次数がその多項式の次数となる。
 ③ 文字を含まない項が定数項。


例えば \(6x^2+x-1\) では、


 それぞれの項の次数は、


  \(6x^2\) が2次式、


  \(x\) が1次式、


  \(-1\) が0次式=定数項


 これより、次数が \(2\)、定数項は \(-1\)


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Point:特定の文字に着目した多項式

複数の文字についての多項式では、


 \(x^2y+3x^2-4x+y+1\)


\({\small [\,1\,]}~\)\(x\) と \(y\) に着目したとき、
  最高次数が \(x^2y\) より、3次式で定数項が \(1\)


\({\small [\,2\,]}~\)\(x\) に着目したとき、
 \(x\) について整理すると、


  \((y+3)x^2-4x+(y+1)\)


 これより、2次式で定数項が \(y+1\)


\({\small [\,3\,]}~\)\(y\) に着目したとき、
 \(y\) について整理すると、


  \((x^2+1)y+(3x^2-4x+1)\)


 これより、1次式で定数項が \(3x^2-4x+1\)


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