今回の問題は「多項式の次数と定数項」です。
問題次の多項式を、\(a\) について降べきの順に整理し何次式になるか答えよ。また、定数項を求めよ。$${\small (1)}~5-2a^2-5a+3a^2+7a+3$$$${\small (2)}~3ab-b+4+2a^2b-2a+2b^2-4a^2$$
Point：多項式の同類項をまとめる多項式を整理するときは、
① 同類項(＝次数が同じ項)を並べる。
② 同類項を計算する。
③ 降べきの順に整理する。
※ 降べきの順は、次数の高い項から順に並べる
例えば、\(x^2-3x+2+5x^2+4x-3\) では、
\(x^2\) と \(5x^2\) (２次式)
\(-3x\) と \(4x\) (１次式)
\(+2\) と \(-3\) (定数項)
がそれぞれ同類項より、
\(\begin{split}&x^2-3x+2+5x^2+4x-3\\[2pt]~~=~&x^2+5x^2-3x+4x+2-3\\[2pt]~~=~&(1+5)x^2+(-3+4)x+(2-3)\\[2pt]~~=~&6x^2+x-1\end{split}\)
① 同類項(＝次数が同じ項)を並べる。
② 同類項を計算する。
③ 降べきの順に整理する。
※ 降べきの順は、次数の高い項から順に並べる
例えば、\(x^2-3x+2+5x^2+4x-3\) では、
\(x^2\) と \(5x^2\) (２次式)
\(-3x\) と \(4x\) (１次式)
\(+2\) と \(-3\) (定数項)
がそれぞれ同類項より、
\(\begin{split}&x^2-3x+2+5x^2+4x-3\\[2pt]~~=~&x^2+5x^2-3x+4x+2-3\\[2pt]~~=~&(1+5)x^2+(-3+4)x+(2-3)\\[2pt]~~=~&6x^2+x-1\end{split}\)
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Point：多項式の次数と定数項
例えば \(6x^2+x-1\) では、
それぞれの項の次数は、
\(6x^2\) が２次式、
\(x\) が１次式、
\(-1\) が０次式＝定数項
これより、次数が \(2\)、定数項は \(-1\) 。
多項式の次数と定数項は、
① １つ１つの項の次数を考える。
② 一番高い次数がその多項式の次数となる。
③ 文字を含まない項が定数項。
例えば \(6x^2+x-1\) では、
それぞれの項の次数は、
\(6x^2\) が２次式、
\(x\) が１次式、
\(-1\) が０次式＝定数項
これより、次数が \(2\)、定数項は \(-1\) 。
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Point：特定の文字に着目した多項式
\(x^2y+3x^2-4x+y+1\)
\({\small [\,1\,]}~\)\(x\) と \(y\) に着目したとき、
最高次数が \(x^2y\) より、３次式で定数項が \(1\)
\({\small [\,2\,]}~\)\(x\) に着目したとき、
\(x\) について整理すると、
\((y+3)x^2-4x+(y+1)\)
これより、２次式で定数項が \(y+1\)
\({\small [\,3\,]}~\)\(y\) に着目したとき、
\(y\) について整理すると、
\((x^2+1)y+(3x^2-4x+1)\)
これより、１次式で定数項が \(3x^2-4x+1\)
複数の文字についての多項式では、
\(x^2y+3x^2-4x+y+1\)
\({\small [\,1\,]}~\)\(x\) と \(y\) に着目したとき、
最高次数が \(x^2y\) より、３次式で定数項が \(1\)
\({\small [\,2\,]}~\)\(x\) に着目したとき、
\(x\) について整理すると、
\((y+3)x^2-4x+(y+1)\)
これより、２次式で定数項が \(y+1\)
\({\small [\,3\,]}~\)\(y\) に着目したとき、
\(y\) について整理すると、
\((x^2+1)y+(3x^2-4x+1)\)
これより、１次式で定数項が \(3x^2-4x+1\)
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