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多項式の次数と定数項

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今回の問題は「多項式の次数と定数項」です。

問題次の多項式を、\(a\) について降べきの順に整理し何次式になるか答えよ。また、定数項を求めよ。$${\small (1)}~5-2a^2-5a+3a^2+7a+3$$$${\small (2)}~3ab-b+4+2a^2b-2a+2b^2-4a^2$$

 

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同類項の計算と多項式の次数と定数項

Point:同類項多項式を整理するとき、まずは同類項(=次数が同じ項)をまとめましょう。
また、降べきの順とは整理された多項式で次数の高いものから順に並べることをいいます。
例えば$$~~~~~~x^2-3x+2+5x^2+4x-3$$$$~=x^2+5x^2-3x+4x+2-3$$$$~=6x^2+x-1$$

Point:多項式の次数と定数項

多項式の次数は各項の次数を考えて一番高い次数をその多項式の次数とします。また、定数項は着目している文字を含まない項となります。$$~~~6x^2+x-1$$左から次数は2次、1次、0次=定数項となるので、この多項式の次数は \(2\)、定数項は \(-1\) となります。

 

問題解説:多項式の次数と定数項

問題解説(1)

問題次の多項式を、\(a\) について降べきの順に整理し何次式になるか答えよ。また、定数項を求めよ。$${\small (1)}~5-2a^2-5a+3a^2+7a+3$$

まず同類項をまとめていくと、$$~~~~~~5-2a^2-5a+3a^2+7a+3$$$$~=5+3-2a^2+3a^2-5a+7a$$$$~=8+a^2+2a$$降べきの順にすると、$$~=a^2+2a+8$$左から次数は2次、1次、0次=定数項となるので、この多項式の次数は \(2\)、定数項は \(8\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の多項式を、\(a\) について降べきの順に整理し何次式になるか答えよ。また、定数項を求めよ。$${\small (2)}~3ab-b+4+2a^2b-2a+2b^2-4a^2$$

\(a\) に着目して整理すると、$$~~~~~~3ab-b+4+2a^2b-2a+2b^2-4a^2$$$$~=2a^2b-4a^2+3ab-2a-b+4+2b^2$$式でくくるときは着目している文字 \(a\) を後ろでくくるようにすると、$$~=(2b-4)a^2+(3b-2)a+2b^2-b+4$$ここで定数項はの部分は \(b\) について降べきの順にしておきます。また、\((2b-4)\) は \(2\) でくくれるので前でくくると、$$~=2(b-2)a^2+(3b-2)a+2b^2-b+4$$左から次数は2次、1次、0次=定数項となるので、この多項式の次数は \(2\)、定数項は \(2b^2-b+4\) となります。


このように \(a\) について着目しているので、\(b\) は数字と同じ扱いとなります。よって、定数項が \(b\) の式となります。

 

今回のまとめ

多項式でも着目している文字に注意しましょう。また、着目している文字をくくるときは後ろでくくり、それ以外の文字や数字の時は前でくくることを覚えておきましょう。

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