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集合の包含関係と部分集合

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今回の問題は「集合の包含関係と部分集合」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の2つの集合の包含関係を調べよ。
  \({\large ①}\) \({\rm A}=\{~n~|~n\)は \(12\) の約数\(~\}\)
    \(~{\rm B}=\{~n~|~n\)は \(6\) の約数\(~\}\)
  \({\large ②}\) \({\rm A}=\{~n~|~n\)は \(8\) の約数\(~\}\)
    \(~{\rm B}=\{~1~,~2~,~4~,~8~\}\)
  \({\large ③}\) \({\rm A}=\{~n~|~n\)は1桁の偶数\(~\}\)
    \(~{\rm B}=\{~n~|~n\)は \(24\) の約数\(~\}\)
  \({\large ④}\) \({\rm A}=\{~n~|~n\)は2の倍数\(~\}\)
    \(~{\rm B}=\{~n~|~n\)は6の倍数\(~\}\)
\({\small (2)}~\)1桁の3の倍数の集合 \(\rm A\) の部分集合をすべて答えよ。

 

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集合の包含関係と部分集合の解法

Point:集合の包含関係と部分集合・集合の包含関係と部分集合
2つの集合 \({\rm A}~,~{\rm B}\) について、
集合 \(\rm A\) のどの要素も集合 \(\rm B\) に含まれるとき、すなわちベン図で表すと、

集合 \(\rm A\) は集合 \(\rm B\) に含まれ、

$${\rm A}\subset{\rm B}$$

で表します。このとき、集合 \(\rm A\) を集合 \(\rm B\) の部分集合といいます。
 
また、集合 \(\rm A\) と集合 \(\rm B\) の要素がすべて一致しているとき、

$${\rm A}={\rm B}$$

で表されて集合 \(\rm A\) と集合 \(\rm B\) は等しいといいます。
 
・空集合
要素が1つもない集合空集合といい、\(\phi\) で表します。
空集合 \(\phi\) はどんな集合に対しても部分集合となります。

 

問題解説:集合の包含関係と部分集合

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の2つの集合の包含関係を調べよ。
  \({\large ①}\) \({\rm A}=\{~n~|~n\)は \(12\) の約数\(~\}\)
    \(~{\rm B}=\{~n~|~n\)は \(6\) の約数\(~\}\)
  \({\large ②}\) \({\rm A}=\{~n~|~n\)は \(8\) の約数\(~\}\)
    \(~{\rm B}=\{~1~,~2~,~4~,~8~\}\)
  \({\large ③}\) \({\rm A}=\{~n~|~n\)は1桁の偶数\(~\}\)
    \(~{\rm B}=\{~n~|~n\)は \(24\) の約数\(~\}\)
  \({\large ④}\) \({\rm A}=\{~n~|~n\)は2の倍数\(~\}\)
    \(~{\rm B}=\{~n~|~n\)は6の倍数\(~\}\)

① 集合 \(\rm A\) の要素を書き並べると、$$~~~{\rm A}=\{~1~,~2~,~3~,~4~,~6~,~12~\}$$集合 \(\rm B\) の要素を書き並べると、$$~~~{\rm B}=\{~1~,~2~,~3~,~6~\}$$よって、集合 \(\rm B\) は集合 \(\rm A\) に含まれるので答えは \({\rm A}\supset{\rm B}\) となります。

 

② 集合 \(\rm A\) の要素を書き並べると、$$~~~{\rm A}=\{~1~,~2~,~4~,~8~\}$$集合 \(\rm B\) の要素を書き並べると、$$~~~{\rm B}=\{~1~,~2~,~4~,~8~\}$$よって、集合 \(\rm A\) と集合 \(\rm B\) は等しくなり、答えは \({\rm A}={\rm B}\) となります。

 

③ 集合 \(\rm A\) の要素を書き並べると、$$~~~{\rm A}=\{~2~,~4~,~6~,~8~\}$$集合 \(\rm B\) の要素を書き並べると、$$~~~{\rm B}=\{~1~,~2~,~3~,~4~,~6~,~8~,~12~,~24~\}$$よって、集合 \(\rm A\) は集合 \(\rm B\) に含まれるので答えは \({\rm A}\subset{\rm B}\) となります。

 

④ 集合 \(\rm A\) の要素を書き並べると、$$~~~{\rm A}=\{~2~,~4~,~6~,~8~,~\cdots~\}$$集合 \(\rm B\) の要素を書き並べると、$$~~~{\rm B}=\{~6~,~12~,~18~,~24~,~\cdots~\}$$よって、集合 \(\rm B\) は集合 \(\rm A\) に含まれるので答えは \({\rm A}\supset{\rm B}\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)1桁の3の倍数の集合 \(\rm A\) の部分集合をすべて答えよ。

1桁の3の倍数の集合 \(\rm A\) の要素を書き並べると、$$~~~{\rm A}=\{~3~,~6~,~9~\}$$

集合 \(\rm A\) の部分集合で要素が1つのものは、

よって、$$~~~\{~3~\}~,~\{~6~\}~,~\{~9~\}$$となります。
 
集合 \(\rm A\) の部分集合で要素が2つのものは、

よって、$$~~~\{~3~,~6~\}~,~\{~6~,~9~\}~,~\{~3~,~9~\}$$となります。
 
集合 \(\rm A\) と等しい集合も部分集合となるので、

よって、$$~~~\{~3~,~6~,~9~\}$$となります。
 
要素が1つもない空集合も部分集合となるので、

よって、\(\phi\) となります。
 
以上より、集合 \(\rm A\) の部分集合は、$$~~~\{~3~\}~,~\{~6~\}~,~\{~9~\}$$$$~~~\{~3~,~6~\}~,~\{~6~,~9~\}~,~\{~3~,~9~\}$$$$~~~\{~3~,~6~,~9~\}~,~\phi$$となります。

 

今回のまとめ

集合の包含関係はそれぞれの集合を書き並べて比較して考えましょう!また、部分集合をすべて書き並べる方法も覚えておきましょう。

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