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共通部分と和集合

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今回の問題は「共通部分と和集合」です。

問題1桁の3の倍数の集合を \(\rm A\)、1桁の素数の集合を \(\rm B\)、集合 \(\rm C\) を \({\rm C}=\{~2~,~3~,~4~,~5~\}\) とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (1)}~{\rm A} \cap {\rm B}$$$${\small (2)}~{\rm A} \cup {\rm B}$$$${\small (3)}~{\rm B} \cap {\rm C}$$$${\small (4)}~{\rm A} \cup {\rm C}$$$${\small (5)}~{\rm A} \cap {\rm B} \cap {\rm C}$$$${\small (6)}~{\rm A} \cup {\rm B} \cup {\rm C}$$

 

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共通部分と和集合の解法

Point:共通部分と和集合・共通部分
2つの集合 \({\rm A}~,~{\rm B}\) について、

上のベン図の斜線部分を共通部分といい、\({\rm A} \cap {\rm B}\) で表され \(\rm A\) かつ \(\rm B\) といいます。
 
・和集合
2つの集合 \({\rm A}~,~{\rm B}\) について、

上のベン図の斜線部分を和集合といい、\({\rm A} \cup {\rm B}\) で表され \(\rm A\) または \(\rm B\) といいます。

 

問題解説:共通部分と和集合

問題解説(1)

問題1桁の3の倍数の集合を \(\rm A\)、1桁の素数の集合を \(\rm B\)、集合 \(\rm C\) を \({\rm C}=\{~2~,~3~,~4~,~5~\}\) とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (1)}~{\rm A} \cap {\rm B}$$

集合 \(\rm A\) を書き並べると、$$~~~{\rm A}=\{~3~,~6~,~9~\}$$集合 \(\rm B\) を書き並べると、$$~~~{\rm B}=\{~2~,~3~,~5~,~7~\}$$集合 \(\rm C\) は問題文より、$$~~~{\rm C}=\{~2~,~3~,~4~,~5~\}$$
\({\rm A} \cap {\rm B}\) は集合 \(\rm A\) と集合 \(\rm B\) の共通部分より、$$~~~{\rm A}=\{~3~,~6~,~9~\}$$$$~~~{\rm B}=\{~2~,~3~,~5~,~7~\}$$よって、集合 \(\rm A\) と集合 \(\rm B\) に共通して属している要素は \(\{~3~\}\) である。
答えは、\({\rm A} \cap {\rm B}=\{~3~\}\) となります。

 

問題解説(2)

問題1桁の3の倍数の集合を \(\rm A\)、1桁の素数の集合を \(\rm B\)、集合 \(\rm C\) を \({\rm C}=\{~2~,~3~,~4~,~5~\}\) とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (2)}~{\rm A} \cup {\rm B}$$

\({\rm A} \cup {\rm B}\) は集合 \(\rm A\) と集合 \(\rm B\) の和集合を表します。$$~~~{\rm A}=\{~3~,~6~,~9~\}$$$$~~~{\rm B}=\{~2~,~3~,~5~,~7~\}$$よって、集合 \(\rm A\) と集合 \(\rm B\) の少なくとも一方に属している要素は小さい順に、$$~~~\{~2~,~3~,~5~,~6~,~7~,~9~\}$$よって、答えは$$~{\rm A} \cup {\rm B}=\{~2~,~3~,~5~,~6~,~7~,~9~\}$$となります。

 

問題解説(3)

問題1桁の3の倍数の集合を \(\rm A\)、1桁の素数の集合を \(\rm B\)、集合 \(\rm C\) を \({\rm C}=\{~2~,~3~,~4~,~5~\}\) とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (3)}~{\rm B} \cap {\rm C}$$

\({\rm B} \cap {\rm C}\) は集合 \(\rm B\) と集合 \(\rm C\) の共通部分を表します。$$~~~{\rm B}=\{~2~,~3~,~5~,~7~\}$$$$~~~{\rm C}=\{~2~,~3~,~4~,~5~\}$$よって、集合 \(\rm B\) と集合 \(\rm C\) に共通して属している要素は小さい順に、$$~~~\{~2~,~3~,~5~\}$$よって、答えは$$~{\rm B} \cap {\rm C}=\{~2~,~3~,~5~\}$$となります。

 

問題解説(4)

問題1桁の3の倍数の集合を \(\rm A\)、1桁の素数の集合を \(\rm B\)、集合 \(\rm C\) を \({\rm C}=\{~2~,~3~,~4~,~5~\}\) とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (4)}~{\rm A} \cup {\rm C}$$

\({\rm A} \cup {\rm C}\) は集合 \(\rm A\) と集合 \(\rm C\) の和集合を表します。$$~~~{\rm A}=\{~3~,~6~,~9~\}$$$$~~~{\rm C}=\{~2~,~3~,~4~,~5~\}$$よって、集合 \(\rm A\) と集合 \(\rm C\) の少なくとも一方に属している要素は小さい順に、$$~~~\{~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~9~\}$$よって、答えは$$~{\rm A} \cup {\rm C}=\{~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~9~\}$$となります。

 

問題解説(5)

問題1桁の3の倍数の集合を \(\rm A\)、1桁の素数の集合を \(\rm B\)、集合 \(\rm C\) を \({\rm C}=\{~2~,~3~,~4~,~5~\}\) とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (5)}~{\rm A} \cap {\rm B} \cap {\rm C}$$

\({\rm A} \cap {\rm B} \cap {\rm C}\) は集合 \(\rm A\) と集合 \(\rm B\) と集合 \(\rm C\) の共通部分を表します。$$~~~{\rm A}=\{~3~,~6~,~9~\}$$$$~~~{\rm B}=\{~2~,~3~,~5~,~7~\}$$$$~~~{\rm C}=\{~2~,~3~,~4~,~5~\}$$よって、これらのすべてに共通している要素は \(\{~3~\}\) だけである。
よって、答えは \({\rm A} \cap {\rm B} \cap {\rm C}=\{~3~\}\) となります。

 

問題解説(6)

問題1桁の3の倍数の集合を \(\rm A\)、1桁の素数の集合を \(\rm B\)、集合 \(\rm C\) を \({\rm C}=\{~2~,~3~,~4~,~5~\}\) とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (6)}~{\rm A} \cup {\rm B} \cup {\rm C}$$

\({\rm A} \cup {\rm B} \cup {\rm C}\) は集合 \(\rm A\) と集合 \(\rm B\) と集合 \(\rm C\) の和集合を表します。$$~~~{\rm A}=\{~3~,~6~,~9~\}$$$$~~~{\rm B}=\{~2~,~3~,~5~,~7~\}$$$$~~~{\rm C}=\{~2~,~3~,~4~,~5~\}$$よって、これらの少なくとも1つに含まれる要素は小さい順に、$$~~~\{~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~7~,~9~\}$$よって、答えは$$~{\rm A} \cup {\rm B} \cup {\rm C}=\{~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~7~,~9~\}$$となります。

 

今回のまとめ

共通部分と和集合はその記号と「かつ」と「または」の語句、意味を理解し覚えておきましょう。それぞれの集合を上下に書き並べて比較するとわかりやすくなります。

【問題一覧】数学Ⅰ:集合と論理
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