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補集合とド・モルガンの法則

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今回の問題は「補集合とド・モルガンの法則」です。

問題全体集合 \(\rm U\) が1~10までの自然数であり、この全体集合の部分集合で要素が3の倍数の集合を \(\rm A\)、要素が素数の集合を \(\rm B\) とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (1)}~\overline {\rm A}$$$${\small (2)}~\overline {{\rm A} \cup {\rm B}}$$$${\small (3)}~\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}$$$${\small (4)}~\overline {{\rm A}} \cap \overline {{\rm B}}$$$${\small (5)}~\overline {{\rm A}} \cap {\rm B}$$$${\small (6)}~{\rm A} \cup \overline {{\rm B}}$$

 

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補集合とド・モルガンの法則の解法

Point:補集合とド・モルガンの法則・補集合
全体集合 \(\rm U\) とその部分集合 \(\rm A\) について、集合 \(\rm A\) に属さない \(\rm U\) の要素の集合集合 \(\rm A\) の補集合といい \(\overline {\rm A}\) で表します。
また、ベン図は次のようになります。

 
・ド・モルガンの法則
全体集合 \(\rm U\) とその部分集合 \({\rm A}~,~{\rm B}\) において、
\( \overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}} \) をベン図で表すと、

この2つの和集合となるので、

これは集合 \( {\rm A}\cap {\rm B} \) の補集合となるので、$$~~~\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}$$
 
次に、\( \overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}} \) をベン図で表すと、

この2つの共通部分となるので、

これは集合 \( {\rm A} \cup {\rm B} \) の補集合となるので、$$~~~\overline {{\rm A} \cup {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cap \overline {{\rm B}}$$

 

問題解説:補集合とド・モルガンの法則

問題解説(1)

問題全体集合 \(\rm U\) が1~10までの自然数であり、この全体集合の部分集合で要素が3の倍数の集合を \(\rm A\)、要素が素数の集合を \(\rm B\) とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (1)}~\overline {\rm A}$$

全体集合 \(\rm U\) は、$$~~~{\rm U}=\{~1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~7~,~8~,~9~,~10~\}$$集合 \(\rm A\) は、$$~~~{\rm A}=\{~3~,~6~,~9~\}$$集合 \(\rm B\) は、$$~~~{\rm B}=\{~2~,~3~,~5~,~7~\}$$
よって、集合 \( \overline {\rm A} \)は、\(\rm A\) に属さない集合 \(\rm U\) の要素であることより、$$~~~\overline {\rm A}=\{~1~,~2~,~4~,~5~,~7~,~8~,~10~\}$$

 

問題解説(2)

問題全体集合 \(\rm U\) が1~10までの自然数であり、この全体集合の部分集合で要素が3の倍数の集合を \(\rm A\)、要素が素数の集合を \(\rm B\) とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (2)}~\overline {{\rm A} \cup {\rm B}}$$

\({\rm A} \cup {\rm B}\) は集合 \(\rm A\) と集合 \(\rm B\) の和集合で、$$~~~{\rm A}=\{~3~,~6~,~9~\}$$$$~~~{\rm B}=\{~2~,~3~,~5~,~7~\}$$よって、集合 \(\rm A\) と集合 \(\rm B\) の少なくとも一方に属していればよいので、$$~~~{\rm A} \cup {\rm B}=\{~2~,~3~,~5~,~6~,~7~,~9~\}$$
よって、\( \overline {{\rm A} \cup {\rm B}} \)は集合 \({\rm A} \cup {\rm B}\) に属さない集合 \(\rm U\) の要素より、$$~~~\overline {{\rm A} \cup {\rm B}}=\{~1~,~4~,~8~,~10~\}$$

 

問題解説(3)

問題全体集合 \(\rm U\) が1~10までの自然数であり、この全体集合の部分集合で要素が3の倍数の集合を \(\rm A\)、要素が素数の集合を \(\rm B\) とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (3)}~\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}$$

ド・モルガンの法則より、$$\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}=\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}$$ここで、\( {\rm A} \cap {\rm B} \) は集合 \(\rm A\) と集合 \(\rm B\) の共通部分で、$$~~~{\rm A}=\{~3~,~6~,~9~\}$$$$~~~{\rm B}=\{~2~,~3~,~5~,~7~\}$$よって、これらに共通して属しているので、$$~~~{\rm A} \cap {\rm B}=\{~3~\}$$
よって、\( \overline {{\rm A} \cap {\rm B}} \) は \({\rm A} \cap {\rm B}\) に属さない集合 \(\rm U\) の要素より、$$~~~\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\{~1~,~2~,~4~,~5~,~6~,~7~,~8~,~9~,~10~\}$$よって、答えは$$~~~\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}=\{~1~,~2~,~4~,~5~,~6~,~7~,~8~,~9~,~10~\}$$となります。

 

問題解説(4)

問題全体集合 \(\rm U\) が1~10までの自然数であり、この全体集合の部分集合で要素が3の倍数の集合を \(\rm A\)、要素が素数の集合を \(\rm B\) とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (4)}~\overline {{\rm A}} \cap \overline {{\rm B}}$$

ド・モルガンの法則より$$\overline {{\rm A}} \cap \overline {{\rm B}}=\overline {{\rm A} \cup {\rm B}}$$(2)の答えより、$$~~~\overline {{\rm A} \cup {\rm B}}=\{~1~,~4~,~8~,~10~\}$$したがって、答えは$$~~~\overline {{\rm A}} \cap \overline {{\rm B}}=\{~1~,~4~,~8~,~10~\}$$となります。

 

問題解説(5)

問題全体集合 \(\rm U\) が1~10までの自然数であり、この全体集合の部分集合で要素が3の倍数の集合を \(\rm A\)、要素が素数の集合を \(\rm B\) とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (5)}~\overline {{\rm A}} \cap {\rm B}$$

\( \overline {{\rm A}} \cap {\rm B} \) は次のベン図の共通部分となります。

この共通部分は次のようになります。

よって、集合 \(\rm B\) に属して集合 \( {\rm A} \cap {\rm B} \) に属さない要素となるので、$$~~~{\rm B}=\{~2~,~3~,~5~,~7~\}$$$$~~~{\rm A} \cap {\rm B}=\{~3~\}$$よって、答えは$$~~~\overline {{\rm A}} \cap {\rm B}=\{~2~,~5~,~7~\}$$となります。

 

問題解説(6)

問題全体集合 \(\rm U\) が1~10までの自然数であり、この全体集合の部分集合で要素が3の倍数の集合を \(\rm A\)、要素が素数の集合を \(\rm B\) とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (6)}~{\rm A} \cup \overline {{\rm B}}$$

\( {\rm A} \cup \overline {{\rm B}} \) は次のベン図の斜線部分となります。

これは、集合 \( \overline {{\rm A}} \cap {\rm B} \) の補集合となるので、(5)の答えより、$$~~~\overline {{\rm A}} \cap {\rm B}=\{~2~,~5~,~7~\}$$
よって、\( {\rm A} \cup \overline {{\rm B}} \) は \( \overline {{\rm A}} \cap {\rm B} \) に属さない集合 \(\rm U\) の要素より、答えは$$~~~{\rm A} \cup \overline {{\rm B}}=\{~1~,~3~,~4~,~6~,~8~,~9~,~10~\}$$となります。

 

今回のまとめ

補集合とド・モルガンの法則は考え方も合わせて覚えておきましょう。また、複雑な集合の要素はベン図を描いて視覚的に解けるようにしましょう。

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