補集合とド・モルガンの法則

2018.04.122020.06.09

補集合とド・モルガンの法則の解法
問題解説：補集合とド・モルガンの法則
今回のまとめ

補集合とド・モルガンの法則の解法

Point：補集合とド・モルガンの法則・補集合
全体集合 $\rm U$ とその部分集合 $\rm A$ について、集合 $\rm A$ に属さない $\rm U$ の要素の集合を集合 $\rm A$ の補集合といい $\overline {\rm A}$ で表します。
また、ベン図は次のようになります。

・ド・モルガンの法則
全体集合 $\rm U$ とその部分集合 ${\rm A}~,~{\rm B}$ において、
$ \overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}} $ をベン図で表すと、

この２つの和集合となるので、

これは集合 $ {\rm A}\cap {\rm B} $ の補集合となるので、$$~~~\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}$$

次に、$ \overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}} $ をベン図で表すと、

この２つの共通部分となるので、

これは集合 $ {\rm A} \cup {\rm B} $ の補集合となるので、$$~~~\overline {{\rm A} \cup {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cap \overline {{\rm B}}$$

問題解説：補集合とド・モルガンの法則

問題解説(1)

問題全体集合 $\rm U$ が1～10までの自然数であり、この全体集合の部分集合で要素が３の倍数の集合を $\rm A$、要素が素数の集合を $\rm B$ とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (1)}~\overline {\rm A}$$

全体集合 $\rm U$ は、$$~~~{\rm U}=\{~1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~7~,~8~,~9~,~10~\}$$集合 $\rm A$ は、$$~~~{\rm A}=\{~3~,~6~,~9~\}$$集合 $\rm B$ は、$$~~~{\rm B}=\{~2~,~3~,~5~,~7~\}$$
よって、集合 $ \overline {\rm A} $は、$\rm A$ に属さない集合 $\rm U$ の要素であることより、$$~~~\overline {\rm A}=\{~1~,~2~,~4~,~5~,~7~,~8~,~10~\}$$

問題解説(2)

問題全体集合 $\rm U$ が1～10までの自然数であり、この全体集合の部分集合で要素が３の倍数の集合を $\rm A$、要素が素数の集合を $\rm B$ とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (2)}~\overline {{\rm A} \cup {\rm B}}$$

${\rm A} \cup {\rm B}$ は集合 $\rm A$ と集合 $\rm B$ の和集合で、$$~~~{\rm A}=\{~3~,~6~,~9~\}$$$$~~~{\rm B}=\{~2~,~3~,~5~,~7~\}$$よって、集合 $\rm A$ と集合 $\rm B$ の少なくとも一方に属していればよいので、$$~~~{\rm A} \cup {\rm B}=\{~2~,~3~,~5~,~6~,~7~,~9~\}$$
よって、$ \overline {{\rm A} \cup {\rm B}} $は集合 ${\rm A} \cup {\rm B}$ に属さない集合 $\rm U$ の要素より、$$~~~\overline {{\rm A} \cup {\rm B}}=\{~1~,~4~,~8~,~10~\}$$

問題解説(3)

問題全体集合 $\rm U$ が1～10までの自然数であり、この全体集合の部分集合で要素が３の倍数の集合を $\rm A$、要素が素数の集合を $\rm B$ とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (3)}~\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}$$

ド・モルガンの法則より、$$\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}=\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}$$ここで、$ {\rm A} \cap {\rm B} $ は集合 $\rm A$ と集合 $\rm B$ の共通部分で、$$~~~{\rm A}=\{~3~,~6~,~9~\}$$$$~~~{\rm B}=\{~2~,~3~,~5~,~7~\}$$よって、これらに共通して属しているので、$$~~~{\rm A} \cap {\rm B}=\{~3~\}$$
よって、$ \overline {{\rm A} \cap {\rm B}} $ は ${\rm A} \cap {\rm B}$ に属さない集合 $\rm U$ の要素より、$$~~~\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\{~1~,~2~,~4~,~5~,~6~,~7~,~8~,~9~,~10~\}$$よって、答えは$$~~~\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}=\{~1~,~2~,~4~,~5~,~6~,~7~,~8~,~9~,~10~\}$$となります。

問題解説(4)

問題全体集合 $\rm U$ が1～10までの自然数であり、この全体集合の部分集合で要素が３の倍数の集合を $\rm A$、要素が素数の集合を $\rm B$ とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (4)}~\overline {{\rm A}} \cap \overline {{\rm B}}$$

ド・モルガンの法則より$$\overline {{\rm A}} \cap \overline {{\rm B}}=\overline {{\rm A} \cup {\rm B}}$$(2)の答えより、$$~~~\overline {{\rm A} \cup {\rm B}}=\{~1~,~4~,~8~,~10~\}$$したがって、答えは$$~~~\overline {{\rm A}} \cap \overline {{\rm B}}=\{~1~,~4~,~8~,~10~\}$$となります。

問題解説(5)

問題全体集合 $\rm U$ が1～10までの自然数であり、この全体集合の部分集合で要素が３の倍数の集合を $\rm A$、要素が素数の集合を $\rm B$ とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (5)}~\overline {{\rm A}} \cap {\rm B}$$

$ \overline {{\rm A}} \cap {\rm B} $ は次のベン図の共通部分となります。

この共通部分は次のようになります。

よって、集合 $\rm B$ に属して集合 $ {\rm A} \cap {\rm B} $ に属さない要素となるので、$$~~~{\rm B}=\{~2~,~3~,~5~,~7~\}$$$$~~~{\rm A} \cap {\rm B}=\{~3~\}$$よって、答えは$$~~~\overline {{\rm A}} \cap {\rm B}=\{~2~,~5~,~7~\}$$となります。

問題解説(6)

問題全体集合 $\rm U$ が1～10までの自然数であり、この全体集合の部分集合で要素が３の倍数の集合を $\rm A$、要素が素数の集合を $\rm B$ とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (6)}~{\rm A} \cup \overline {{\rm B}}$$

$ {\rm A} \cup \overline {{\rm B}} $ は次のベン図の斜線部分となります。

これは、集合 $ \overline {{\rm A}} \cap {\rm B} $ の補集合となるので、(5)の答えより、$$~~~\overline {{\rm A}} \cap {\rm B}=\{~2~,~5~,~7~\}$$
よって、$ {\rm A} \cup \overline {{\rm B}} $ は $ \overline {{\rm A}} \cap {\rm B} $ に属さない集合 $\rm U$ の要素より、答えは$$~~~{\rm A} \cup \overline {{\rm B}}=\{~1~,~3~,~4~,~6~,~8~,~9~,~10~\}$$となります。