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数直線と集合

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今回の問題は「数直線と集合」です。

問題\(x\) を実数とし、実数全体を全体集合として、集合\({\rm P}~,~{\rm Q}\) が以下のとき、次の集合を答えよ。$$~~~{\rm P}=\{~x~|~0<x<7~\}$$$$~~~{\rm Q}=\{~x~|~-2≦x≦4~\}$$$${\small (1)}~{\rm P}\cup {\rm Q}$$$${\small (2)}~{\rm P}\cap {\rm Q}$$$${\small (3)}~\overline{{\rm P}}\cup {\rm Q}$$$${\small (4)}~{\rm P}\cap \overline{{\rm Q}}$$

 

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数直線と集合の解法

Point:数直線と集合不等式で表される集合の共通部分や和集合は、数直線上にすべての集合を図示して考えましょう。
・和集合 \({\rm P}\cup {\rm Q}\) のとき
\({\rm P}\) と \({\rm Q}\) の少なくとも一方の範囲に含まれていればよい
 
・共通部分 \({\rm P}\cap {\rm Q}\) のとき
\({\rm P}\) と \({\rm Q}\) のどちらにも含まれる範囲であればよい

 

問題解説:数直線と集合

問題解説(1)

問題\(x\) を実数とし、実数全体を全体集合として、集合\({\rm P}~,~{\rm Q}\) が以下のとき、次の集合を答えよ。$$~~~{\rm P}=\{~x~|~0<x<7~\}$$$$~~~{\rm Q}=\{~x~|~-2≦x≦4~\}$$$${\small (1)}~{\rm P}\cup {\rm Q}$$

数直線上に範囲を表すと、

\({\rm P}\) と \({\rm Q}\) の少なくとも一方の範囲に含まれていればよいので、答えは$$~~~{\rm P}\cup {\rm Q}=\{~x~|~-2≦x<7~\}$$となります。

 

問題解説(2)

問題\(x\) を実数とし、実数全体を全体集合として、集合\({\rm P}~,~{\rm Q}\) が以下のとき、次の集合を答えよ。$$~~~{\rm P}=\{~x~|~0<x<7~\}$$$$~~~{\rm Q}=\{~x~|~-2≦x≦4~\}$$$${\small (2)}~{\rm P}\cap {\rm Q}$$

数直線上に範囲を表すと、

\({\rm P}\) と \({\rm Q}\) のどちらにも含まれる範囲であればよいので、答えは$$~~~{\rm P}\cap {\rm Q}=\{~x~|~0<x≦4~\}$$となります。

 

問題解説(3)

問題\(x\) を実数とし、実数全体を全体集合として、集合\({\rm P}~,~{\rm Q}\) が以下のとき、次の集合を答えよ。$$~~~{\rm P}=\{~x~|~0<x<7~\}$$$$~~~{\rm Q}=\{~x~|~-2≦x≦4~\}$$$${\small (3)}~\overline{{\rm P}}\cup {\rm Q}$$

\(\overline{{\rm P}}\) は \({\rm P}\) の補集合より$$~~~\overline{{\rm P}}=\{~x~|~x≦0~,~7≦x~\}$$よって、\(\overline{{\rm P}}\cup {\rm Q}\) を数直線上に範囲を表すと、

\(\overline{{\rm P}}\)と \({\rm Q}\) の少なくとも一方に含まれていればよいので、答えは$$~~~\overline{{\rm P}}\cup {\rm Q}=\{~x~|~x≦4~,~7≦x~\}$$となります。

 

問題解説(4)

問題\(x\) を実数とし、実数全体を全体集合として、集合\({\rm P}~,~{\rm Q}\) が以下のとき、次の集合を答えよ。$$~~~{\rm P}=\{~x~|~0<x<7~\}$$$$~~~{\rm Q}=\{~x~|~-2≦x≦4~\}$$$${\small (4)}~{\rm P}\cap \overline{{\rm Q}}$$

\(\overline{{\rm Q}}\) は \({\rm Q}\) の補集合であるので、$$~~~\overline{{\rm Q}}=\{~x~|~x<-2~,~4<x~\}$$よって、\({\rm P}\cap \overline{{\rm Q}}\) を数直線上に範囲を表すと、

\({\rm P}\) と \(\overline{{\rm Q}}\) のどちらにも含まれる範囲であればよいので、答えは$$~~~{\rm P}\cap \overline{{\rm Q}}=\{~x~|~4<x<7~\}$$となります。

 

今回のまとめ

数直線の集合でも視覚的に解くのが基本となります。それぞれの集合の範囲を数直線に書き込んで視覚的に解いていきましょう。

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