数直線と集合

2018.04.122019.02.23

今回の問題は「数直線と集合」です。

問題$x$ を実数とし、実数全体を全体集合として、集合${\rm P}~,~{\rm Q}$ が以下のとき、次の集合を答えよ。$$~~~{\rm P}=\{~x~|~0<x<7~\}$$$$~~~{\rm Q}=\{~x~|~-2≦x≦4~\}$$$${\small (1)}~{\rm P}\cup {\rm Q}$$$${\small (2)}~{\rm P}\cap {\rm Q}$$$${\small (3)}~\overline{{\rm P}}\cup {\rm Q}$$$${\small (4)}~{\rm P}\cap \overline{{\rm Q}}$$

数直線と集合の解法
問題解説：数直線と集合
今回のまとめ

数直線と集合の解法

Point：数直線と集合不等式で表される集合の共通部分や和集合は、数直線上にすべての集合を図示して考えましょう。
・和集合 ${\rm P}\cup {\rm Q}$ のとき
→ ${\rm P}$ と ${\rm Q}$ の少なくとも一方の範囲に含まれていればよい

・共通部分 ${\rm P}\cap {\rm Q}$ のとき
→ ${\rm P}$ と ${\rm Q}$ のどちらにも含まれる範囲であればよい

問題解説：数直線と集合

問題解説(1)

数直線上に範囲を表すと、

${\rm P}$ と ${\rm Q}$ の少なくとも一方の範囲に含まれていればよいので、答えは$$~~~{\rm P}\cup {\rm Q}=\{~x~|~-2≦x<7~\}$$となります。

問題解説(2)

問題$x$ を実数とし、実数全体を全体集合として、集合${\rm P}~,~{\rm Q}$ が以下のとき、次の集合を答えよ。$$~~~{\rm P}=\{~x~|~0<x<7~\}$$$$~~~{\rm Q}=\{~x~|~-2≦x≦4~\}$$$${\small (2)}~{\rm P}\cap {\rm Q}$$

数直線上に範囲を表すと、

${\rm P}$ と ${\rm Q}$ のどちらにも含まれる範囲であればよいので、答えは$$~~~{\rm P}\cap {\rm Q}=\{~x~|~0<x≦4~\}$$となります。

問題解説(3)

問題$x$ を実数とし、実数全体を全体集合として、集合${\rm P}~,~{\rm Q}$ が以下のとき、次の集合を答えよ。$$~~~{\rm P}=\{~x~|~0<x<7~\}$$$$~~~{\rm Q}=\{~x~|~-2≦x≦4~\}$$$${\small (3)}~\overline{{\rm P}}\cup {\rm Q}$$

$\overline{{\rm P}}$ は ${\rm P}$ の補集合より$$~~~\overline{{\rm P}}=\{~x~|~x≦0~,~7≦x~\}$$よって、$\overline{{\rm P}}\cup {\rm Q}$ を数直線上に範囲を表すと、

$\overline{{\rm P}}$と ${\rm Q}$ の少なくとも一方に含まれていればよいので、答えは$$~~~\overline{{\rm P}}\cup {\rm Q}=\{~x~|~x≦4~,~7≦x~\}$$となります。

問題解説(4)

問題$x$ を実数とし、実数全体を全体集合として、集合${\rm P}~,~{\rm Q}$ が以下のとき、次の集合を答えよ。$$~~~{\rm P}=\{~x~|~0<x<7~\}$$$$~~~{\rm Q}=\{~x~|~-2≦x≦4~\}$$$${\small (4)}~{\rm P}\cap \overline{{\rm Q}}$$

$\overline{{\rm Q}}$ は ${\rm Q}$ の補集合であるので、$$~~~\overline{{\rm Q}}=\{~x~|~x<-2~,~4<x~\}$$よって、${\rm P}\cap \overline{{\rm Q}}$ を数直線上に範囲を表すと、

${\rm P}$ と $\overline{{\rm Q}}$ のどちらにも含まれる範囲であればよいので、答えは$$~~~{\rm P}\cap \overline{{\rm Q}}=\{~x~|~4<x<7~\}$$となります。