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命題の真偽

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今回の問題は「命題の真偽」です。

問題次の命題の真偽を答えよ。
\({\small (1)}~\)2つの三角形が合同ならば、それらは面積が等しい
\({\small (2)}~\)ある四角形がひし形ならば、その四角形は平行四辺形である
\({\small (3)}~\)2つの長方形の面積が等しいならば、それらは合同である
\({\small (4)}~\)ある四角形が長方形ならば、その四角形は正方形である

 

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命題の真偽の解法

Point:命題の真偽・命題
正しいか正しくないか判定できる事柄を表す式や文を「命題」といいます。
正しいときは「真」、正しくないときは「偽」であるといいます。
 
・仮定と結論
命題は「\(p\) ならば \(q\)」といいかえることができるものが多く、\(p\) を仮定、\(q\) を結論といい、記号 \(\Rightarrow\) を用いて、

$$p~\Rightarrow~q$$

と表すことができます。
また、このときの真偽の判定は「どんな \(p\) でも必ず \(q\) が成り立つか」を考えましょう。

 

問題解説:命題の真偽

問題解説(1)

問題次の命題の真偽を答えよ。
\({\small (1)}~\)2つの三角形が合同ならば、それらは面積が等しい

\(p\):2つの三角形が合同
\(q\):2つの三角形の面積が等しい
 
\(p~\Rightarrow~q\) を考えると、
どんな2つの三角形でも合同ならば面積は等しくなります。
よって、答えは真となります。

 

問題解説(2)

問題次の命題の真偽を答えよ。
\({\small (2)}~\)ある四角形がひし形ならば、その四角形は平行四辺形である

\(p\):ある四角形がひし形
\(q\):ある四角形は平行四辺形
 
\(p~\Rightarrow~q\) を考えると、
平行四辺形の分類図が次のようになるので、

どんなひし形でも平行四辺形となります。
よって、答えは真となります。

 

問題解説(3)

問題次の命題の真偽を答えよ。
\({\small (3)}~\)2つの長方形の面積が等しいならば、それらは合同である

\(p\):2つの長方形の面積が等しい
\(q\):2つの長方形が合同である
 
\(p~\Rightarrow~q\) を考えると、
面積が等しい2つの長方形で合同でないものもあります。
例えば、

よって、答えは偽となります。

 

問題解説(4)

問題次の命題の真偽を答えよ。
\({\small (4)}~\)ある四角形が長方形ならば、その四角形は正方形である

\(p\):ある四角形が長方形
\(q\):ある四角形が正方形
 
\(p~\Rightarrow~q\) を考えると、
平行四辺形の分類図が次のようになるので、

長方形であっても、必ず正方形になるとは限りません。
よって、答えは偽となります。

 

今回のまとめ

真偽の判定方法は「どんな \(p\) でも必ず \(q\) が成り立つか」を考えることです。また、平行四辺形の分類などの知識も覚えておきましょう。

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