オンライン家庭教師生徒募集中!詳しくはTwitterにて!

条件の真偽

スポンサーリンク
スポンサーリンク

今回の問題は「条件の真偽」です。

問題次の命題の真偽を答えよ。また、偽の場合は反例を1つあげよ。
\({\small (1)}~ab>0\) ならば \(a>0\) かつ \(b>0\)
\({\small (2)}~a=1\) かつ \(b=2\) ならば \(a+b=3\)
\({\small (3)}~x^2≧9\) ならば \(x≧3\)
\({\small (4)}~3≦x≦4\) ならば \(-1<x\)
\({\small (5)}~n\) が3の倍数ならば \(n\) は6の倍数である

 

スポンサーリンク
スポンサーリンク

条件の真偽の解法

Point:条件の真偽・条件
命題のなかで、値が不定の変数を含むものを「条件」といいます。
また、条件が真のときは、「その変数はその条件を満たす」といいます。
 
・反例
「\(p~\Rightarrow~q\)」が偽であるとき、\(p\) は満たすが \(q\) を満たさない例を1つでも見つければよいことになります。また、この例を「反例」といいます。
 
・条件の真偽の判定
文字 \(x\) を含むとき、\(p\) を満たすすべての \(x\) が \(q\) も満たすかどうかを考えましょう。

 

問題解説:条件の真偽

問題解説(1)

問題次の命題の真偽を答えよ。また、偽の場合は反例を1つあげよ。
\({\small (1)}~ab>0\) ならば \(a>0\) かつ \(b>0\)

\(p\):\(ab>0\)
\(q\):\(a>0\) かつ \(b>0\)
 
\(p~\Rightarrow~q\) を考えると、
\(a=-1~,~b=-2\) のとき、
\(p\) は$$~~~ab=(-1)\cdot(-2)=2>0$$より満たすが、\(q\) は、$$~~~a=-1<0~,~b=-2<0$$となり満たさない。
よって、答えは偽となります。また、反例の1つは、\(a=-1~,~b=-2\) のときとなります。

 

問題解説(2)

問題次の命題の真偽を答えよ。また、偽の場合は反例を1つあげよ。
\({\small (2)}~a=1\) かつ \(b=2\) ならば \(a+b=3\)

\(p\):\(a=1\) かつ \(b=2\)
\(q\):\(a+b=3\)
 
\(p~\Rightarrow~q\) を考えると、
\(a=1\) かつ \(b=2\) のとき、$$~~~a+b=1+2=3$$よって、\(q\) を満たします。
よって、答えは真となります。

 

問題解説(3)

問題次の命題の真偽を答えよ。また、偽の場合は反例を1つあげよ。
\({\small (3)}~x^2≧9\) ならば \(x≧3\)

\(p\):\(x^2≧9\)
\(q\):\(x≧3\)
 
\(p~\Rightarrow~q\) を考えると、
\(x=-4\) のとき、$$~~~x^2=(-4)^2=16≧9$$よって、\(p\) を満たすが、$$~~~x=-4≦3$$となるので、\(q\) を満たさない。
よって、答えは偽となります。また、反例の1つは、\(x=-4\) のときとなります。

 

問題解説(4)

問題次の命題の真偽を答えよ。また、偽の場合は反例を1つあげよ。
\({\small (4)}~3≦x≦4\) ならば \(-1<x\)

\(p\):\(3≦x≦4\)
\(q\):\(-1<x\)
 
\(p~\Rightarrow~q\) を考えると、
\(p~,~q\) を数直線上に表すと、

数直線より、\(p\) を満たすどんな \(x\) でも \(q\) を満たします。
よって、答えは真となります。

 

問題解説(5)

問題次の命題の真偽を答えよ。また、偽の場合は反例を1つあげよ。
\({\small (5)}~n\) が3の倍数ならば \(n\) は6の倍数である

\(p\):\(n\) が3の倍数
\(q\):\(n\) が6の倍数
 
\(p~\Rightarrow~q\) を考えると、
\(n=9\) のとき、3の倍数であるので \(p\) を満たします。
\(n=9\) は、6の倍数でないので \(q\) を満たさない。
よって、答えは偽となります。また、反例の1つは、\(n=9\) のときとなります。

 

今回のまとめ

条件の真偽ではその真偽の判定方法と偽のときの反例の見つけ方に注意して問題を解きましょう。

【問題一覧】数学Ⅰ:集合と論理
このページは「高校数学Ⅰ:集合と論理」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないとき...