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条件の否定①(かつ・または)

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今回の問題は「条件の否定①(かつ・または)」です。

問題次の条件の否定を答えよ。ただし、文字はすべて実数とする。
\({\small (1)}~n\) は有理数である
\({\small (2)}~x=3\)
\({\small (3)}~-1≦x<2\)
\({\small (4)}~x>0\) かつ \(y≦0\)
\({\small (5)}~x≧0\) または \(y>-2\)

 

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条件の否定①(かつ・または)

Point:「かつ・または」の否定・条件の否定
条件の否定を考えるときは、全体の集合がどこかを確認しておきましょう。
例えば、実数 \(x\) において、\(x≧1\) の否定は、「\(x≧1\) 以外のすべての範囲」と考えて、

この数直線より、\(x<-1\) となります。
 
・「かつ・または」の否定
\(p\) かつ \(q\) の否定は、
→ \(\overline {p}\) または \(\overline {q}\)
 
\(p\) または \(q\) の否定は、
→ \(\overline {p}\) かつ \(\overline {q}\)
 
これらはド・モルガンの法則に対応しています。

 

問題解説:条件の否定①(かつ・または)

問題解説(1)

問題次の条件の否定を答えよ。ただし、文字はすべて実数とする。
\({\small (1)}~n\) は有理数である

実数 \(n\) について、
「\(n\) が有理数」の否定は、実数のベン図が次のようになることより、

「\(n\) が有理数でない」すなわち
「\(n\) が無理数」となります。

 

問題解説(2)

問題次の条件の否定を答えよ。ただし、文字はすべて実数とする。
\({\small (2)}~x=3\)

\(x=3\) の否定は、
\(x=3\) 以外のすべての実数となるので答えは \(x\neq3\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の条件の否定を答えよ。ただし、文字はすべて実数とする。
\({\small (3)}~-1≦x<2\)

\(-1≦x<2\) の範囲は数直線で次のようになります。

\(-1≦x<2\) の否定は、\(-1≦x<2\) 以外のすべての実数となるので、数直線では次のようになります。

よって、答えは \(x<-1~,~2≦x\) となります。

 

問題解説(4)

問題次の条件の否定を答えよ。ただし、文字はすべて実数とする。
\({\small (4)}~x>0\) かつ \(y≦0\)

\(x>0\) の否定は、\(x≦0\)
\(y≦0\) の否定は、\(y>0\)

よって、\(x>0\) かつ \(y≦0\) の否定は、
\(x≦0\) または \(y>0\) となります。

 

問題解説(5)

問題次の条件の否定を答えよ。ただし、文字はすべて実数とする。
\({\small (5)}~x≧0\) または \(y>-2\)

\(x≧0\) の否定は、\(x<0\)
\(y>-2\) の否定は、\(y≦-2\)

よって、\(x≧0\) または \(y>-2\) の否定は、
\(x<0\) かつ \(y≦-2\) となります。

 

今回のまとめ

条件の否定は、全体の集合を考え元の条件以外のすべてと考えましょう。また、「かつ」と「または」の否定の答え方も覚えておきましょう。

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