オンライン家庭教師生徒募集中!詳しくはTwitterにて!

条件の否定②(すべて・ある・ともに)

スポンサーリンク
スポンサーリンク

今回の問題は「条件の否定②(すべて・ある・ともに)」です。

問題次の条件の否定を答えよ。ただし、文字はすべて実数である。
\({\small (1)}~\)すべての実数 \(x\) について、\(x^2-4x+3>0\)
\({\small (2)}~x^2+2x+3≦0\) を満たす実数 \(x\) が存在する
\({\small (3)}~m~,~n\) がともに有理数である

 

スポンサーリンク
スポンサーリンク

条件の否定②(すべて・少なくとも)

Point:「すべて・少なくとも・ともに」の否定・すべて・あるの否定
「すべての〜」は任意のものを表し、「ある〜」や「〜が存在する」は特定のものを表します。
よって、
「すべての \(x\) について \({\rm A}\)」の否定は、
「ある \(x\) について \(\overline {{\rm A}}\)」
となります。
また、
「ある \(x\) について \({\rm B}\)」の否定は、
「すべての \(x\) について \(\overline {{\rm B}}\)」
となります。
 
・ともにの否定
「\(x~,~y\) がともに \({\rm A}\)」は次の表の斜線部分となります。

よって、「\(x~,~y\) がともに \({\rm A}\)」の否定は、①以外の場所である②、③、④のすべてとなります。

よって、「\(x~,~y\) がともに \({\rm A}\)」の否定は、
「\(x~,~y\) の少なくとも一方が \(\overline {{\rm A}}\)」
となります。

 

問題解説:条件の否定②(すべて・少なくとも)

問題解説(1)

問題次の条件の否定を答えよ。ただし、文字はすべて実数である。
\({\small (1)}~\)すべての実数 \(x\) について、\(x^2-4x+3>0\)

\(x^2-4x+3>0\) の否定は、\(x^2-4x+3≦0\) となります。
よって、答えは
「ある実数 \(x\) について、\(x^2-4x+3≦0\)」
となります。

 

問題解説(2)

問題次の条件の否定を答えよ。ただし、文字はすべて実数である。
\({\small (2)}~x^2+2x+3≦0\) を満たす実数 \(x\) が存在する

\(x^2+2x+3≦0\) の否定は、\(x^2+2x+3>0\) となります。
よって、答えは
「すべての実数 \(x\) について、\(x^2+2x+3>0\)」
となります。

 

問題解説(3)

問題次の条件の否定を答えよ。ただし、文字はすべて実数である。
\({\small (3)}~m~,~n\) がともに有理数である

「\(m~,~n\) がともに有理数」の否定は、

この表より、答えは
「\(m~,~n\) の少なくとも一方が無理数」
となります。

 

今回のまとめ

「すべて〜」と「ある〜」は否定の関係となるので覚えておきましょう。また、「ともに〜」の表を用いて「少なくとも一方が〜」とできるようになりましょう。

【問題一覧】数学Ⅰ:集合と論理
このページは「高校数学Ⅰ:集合と論理」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないとき...