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不定積分と関数の決定

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今回の問題は「不定積分と関数の決定」です。

問題関数 \(f(x)\) について、次の条件のとき \(f(x)\) を求めよ。$$~~~f(1)=5~,~f'(x)=3x^2-4x+2$$

 

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不定積分と関数の決定

Point:不定積分と関数の決定\(f'(x)\) が与えられたとき、
\(f'(x)\) を積分することで、\(f(x)\) を求めます。

$$f(x)=\int f'(x) dx$$

\(f(x)\) の条件より、積分定数 \(C\) を求めて \(f(x)\) を決定します。

 

問題解説:不定積分と関数の決定

問題関数 \(f(x)\) について、次の条件のとき \(f(x)\) を求めよ。$$~~~f(1)=5~,~f'(x)=3x^2-4x+2$$

\(f'(x)=3x^2-4x+2\) を積分すると、$$\hspace{ 10 pt}f(x)=\int (3x^2-4x+2) dx$$$$\hspace{ 31 pt}=\frac{1}{3}3x^3-\frac{1}{2}4x^2+2x+C$$$$\hspace{ 31 pt}=x^3-2x^2+2x+C$$よって、$$~~~f(x)=x^3-2x^2+3x+C~~~\cdots{\large ①}$$
ここで、\(f(1)=5\) より \(x=1\) を代入すると \(5\) となるので、$$\hspace{ 10 pt}1^3-2\cdot^2+2\cdot1+C=5$$$$\hspace{ 34 pt}1-2+2+C=5$$$$\hspace{ 69 pt}1+C=5$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}C=5-1$$$$\hspace{ 10 pt}C=4$$これを①に代入すると、答えは$$~~~f(x)=x^3-2x^2+3x+4$$となります。

 

今回のまとめ

微分された式が与えられたときは、積分することでもとの関数を求めましょう。また、積分定数も求めるのを忘れないようにしましょう。

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