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接線の傾きの条件と関数の決定

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今回の問題は「接線の傾きの条件と関数の決定」です。

問題ある曲線 \(f(x)\) は点 \((1~,~-3)\) を通り、この曲線上の各点 \((x~,~y)\) での接線の傾きが \(2x-5\) となる。この曲線 \(f(x)\) を求めよ。

 

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接線の傾きの条件と関数の決定

Point:接線の傾きの条件と関数の決定関数 \(y=f(x)\) 上の各点 \((x~,~y)\) における接線の傾きは \(f'(x)\) となることより、\(f'(x)\) を積分することで \(f(x)\) が求まります。

$$f(x)=\int f'(x) dx$$

これと、\(f(x)\) の条件より、積分定数 \(C\) を求めて \(f(x)\) を求めましょう。

 

問題:接線の傾きの条件と関数の決定

問題ある曲線 \(f(x)\) は点 \((1~,~-3)\) を通り、この曲線上の各点 \((x~,~y)\) での接線の傾きが \(2x-5\) となる。この曲線 \(f(x)\) を求めよ。

点 \((x~,~y)\) での傾きが \(2x-5\) より、$$~~~f'(x)=2x-5$$となります。
よって、この式を積分すると、$$\hspace{ 10 pt}f(x)=\int (2x-5) dx$$$$\hspace{ 31 pt}=\frac{1}{2}2x^2-5x+C$$$$\hspace{ 31 pt}=x^2-5x+C$$よって、$$~~~f(x)=x^2-5x+C~~~\cdots{\large ①}$$
ここで、点 \((1~,~-3)\) を通るので \(f(1)=-3\) より、$$\hspace{ 10 pt}f(1)=1^2-5\cdot1+C=-3$$$$\hspace{ 59 pt}1-5+C=-3$$$$\hspace{ 69 pt}-4+C=-3$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}C=-3+4$$$$\hspace{ 10 pt}C=1$$これを①に代入すると、答えは$$~~~f(x)=x^2-5x+1$$となります。

 

今回のまとめ

任意の点での接線の傾きは、積分することでもとの関数を求めましょう。また、積分定数も求めることを忘れないようにしましょう。

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