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定積分の計算

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今回の問題は「定積分の計算」です。

問題次の定積分の計算をせよ。$${\small (1)}~\int_{-2}^{1}(x^2+5x-1)dx$$$${\small (2)}~\int_{-1}^{2}(x-2)^2dx$$$${\small (3)}~\int_{-1}^{1}x^2dx-\int_{2}^{1}x^2dx$$

 

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定積分の計算と性質

Point:定積分関数 \(f(x)\) の不定積分 \(F(x)\) とするとき、区間が \(a\) から \(b\) までの定積分を以下の式で表します。

$$\int_{a}^{b}f(x)dx={\Large [} F(x) {\Large ]}_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$

この定積分の \(a\) を下端、\(b\) を上端といいます。
 
定積分の計算の手順は、
\(f(x)\) を \(a\) から \(b\) まで積分すると、
\(f(x)\) の不定積分 \(F(x)\) を求めて、次の式を作ります。

$$\int_{a}^{b}f(x)dx={\Large [} F(x) {\Large ]}_{a}^{b}$$

\(F(b)\) と \(F(a)\) のそれぞれの値を求めておきます。
③ 求めた \(F(b)\) と \(F(a)\) の差より、定積分を求めます。

$$F(b)-F(a)$$

Point:定積分の性質

$${\small (1)}~\int_{a}^{a}f(x) dx=0~$$

区間が同じであるとき、定積分は \(0\) となります。
 

$${\small (2)}~\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx~$$

区間を入れ替えると、符号が逆になります。
 

$${\small (3)}~\int_{a}^{b}f(x)dx$$$$~~=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx~$$

区間を2つに分けたり、連続する区間のとき1つの定積分で表すことができます。

 

問題解説:定積分の計算

問題解説(1)

問題次の定積分の計算をせよ。$${\small (1)}~\int_{-2}^{1}(x^2+5x-1)dx$$

$$~~~~~~\int_{-2}^{1}(x^2+5x-1)dx$$$$~=\left[ \frac{1}{3}x^3+\frac{5}{2}x^2-x \right]_{-2}^{1}~~~\cdots{\large ①}$$
ここで、①の [ ] の中の関数に \(x=1\) を代入した値は、$$~~~~~~\frac{1}{3}\cdot1^3+\frac{5}{2}\cdot1^2-1$$$$~=\frac{1}{3}+\frac{5}{2}-1$$$$~=\frac{2+15-6}{6}$$$$~=\frac{11}{6}$$
また、\(x=-2\) を代入した値は、$$~~~~~~\frac{1}{3}(-2)^3+\frac{5}{2}(-2)^2-(-2)$$$$~=-\frac{8}{3}+10+2$$$$~=-\frac{8}{3}+12$$$$~=\frac{-8+36}{3}$$$$~=\frac{28}{3}$$
よって、①の計算の続きは、$$~~~~~~\left[ \frac{1}{3}x^3+\frac{5}{2}x^2-x \right]_{-2}^{1}$$$$~=\frac{11}{6}-\frac{28}{3}$$$$~=\frac{11-56}{6}$$$$~=-\frac{45}{6}$$$$~=-\frac{15}{2}$$
よって、答えは$$~~~-\frac{15}{2}$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の定積分の計算をせよ。 $${\small (2)}~\int_{-1}^{2}(x-2)^2dx$$

$$~~~~~~\int_{-1}^{2}(x-2)^2dx$$展開すると、$$~=\int_{-1}^{2}(x^2-4x+4)dx$$$$~=\left[ \frac{1}{3}x^3-2x^2+4x \right]_{-1}^{2}~~~\cdots{\large ①}$$
ここで、①の [ ] の中の関数に \(x=2\) を代入した値は、$$~~~~~~\frac{1}{3}\cdot2^3-2\cdot2^2+4\cdot2$$$$~=\frac{8}{3}-8+8$$$$~=\frac{8}{3}$$
また、\(x=-1\) を代入した値は、$$~~~~~~\frac{1}{3}(-1)^3-2(-1)^2+4(-1)$$$$~=-\frac{1}{3}-2-4$$$$~=-\frac{1}{3}-6$$$$~=\frac{-1-18}{3}$$$$~=-\frac{19}{3}$$
よって、①の計算の続きは、$$~~~~~~\left[ \frac{1}{3}x^3-2x^2+4x \right]_{-1}^{2}$$$$~=\frac{8}{3}-\left(-\frac{19}{3}\right)$$$$~=\frac{8}{3}+\frac{19}{3}$$$$~=\frac{27}{3}$$$$~=9$$
よって、答えは \(9\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の定積分の計算をせよ。 $${\small (3)}~\int_{-1}^{1}x^2dx-\int_{2}^{1}x^2dx$$

$$~~~~~~\int_{-1}^{1}x^2dx-\int_{2}^{1}x^2dx$$後半部分の定積分の区間を入れ替えると符号が逆になるので、$$~=\int_{-1}^{1}x^2dx+\int_{1}^{2}x^2dx$$次に、関数が同じで区間が \(-1~\to~1~\to~2\) と連続しているので、1つの定積分にまとめると、$$~=\int_{-1}^{2}x^2 dx$$$$~=\left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{-1}^{2}~~~\cdots{\large ①}$$
ここで、①の [ ] の中の関数に \(x=2\) を代入した値は、$$~~~~~~\frac{1}{3}2^3$$$$~=\frac{8}{3}$$
また、\(x=-1\) を代入した値は、$$~~~~~~\frac{1}{3}(-1)^3$$$$~=-\frac{1}{3}$$
よって、①の計算の続きは、$$~~~~~~\left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{-1}^{2}$$$$~=\frac{8}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)$$$$~=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}$$$$~=\frac{9}{3}$$$$~=3$$
よって、答えは \(3\) となります。

 

今回のまとめ

定積分の計算は少々面倒で計算ミスが多くなるので、丁寧に計算する練習をしておきましょう。

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