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定積分を含む式

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今回の問題は「定積分を含む式」です。

問題次の等式を満たす関数 \(f(x)\) を求めよ。$$~~~f(x)=2x-3\int_{0}^{1}f(t)dt$$

 

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定積分を含む式の解法

Point:定積分を含む式定積分を含む等式を満たす関数 \(f(x)\) を求める手順は、
定積分の部分を定数 \(a\) で置きます。

$$\int_{\alpha}^{\beta}f(t)dt=a$$

とします。
② \(f(x)\) を \(a\) を含む式で表して、\(x=t\) として \(f(t)\) を求めます。
③ 次の式の積分計算をして \(a\) の値を求めます。

$$a=\int_{\alpha}^{\beta}f(t)dt$$

\(a\) の値より、\(f(x)\) を求めます。

 

問題解説:定積分を含む式

問題次の等式を満たす関数 \(f(x)\) を求めよ。$$~~~f(x)=2x-3\int_{0}^{1}f(t)dt$$

$$\hspace{ 10 pt}f(x)=2x-3\int_{0}^{1}f(t)dt~~~\cdots{\large ①}$$定積分の部分を定数 \(a\) で置くと、$$\hspace{ 10 pt}a=\int_{0}^{1}f(t)dt~~~\cdots{\large ②}$$これを①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}f(x)=2x-3a~~~\cdots{\large ③}$$また、\(x=t\) とすると、$$\hspace{ 10 pt}f(t)=2t-3a$$となります。
ここで、②の式より、$$\hspace{ 10 pt}a=\int_{0}^{1}f(t)dt$$$$\hspace{ 10 pt}a=\int_{0}^{1}{(2t-3a)}dt$$$$\hspace{ 10 pt}a={\Large [} t^2-3at {\Large ]}_{0}^{1}$$$$\hspace{ 10 pt}a=(1^2-3a\cdot1)-(0^2-3\cdot0)$$$$\hspace{ 10 pt}a=1-3a$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}a+3a=1$$$$\hspace{ 28 pt}4a=1$$両辺を \(4\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}a=\frac{1}{4}$$
これを③に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}f(x)=2x-3\cdot\frac{1}{4}$$$$\hspace{ 32 pt}=2x-\frac{3}{4}$$
よって、答えは$$~~~f(x)=2x-\frac{3}{4}$$となります。

 

今回のまとめ

定積分を含む式に関する問題は、その解法の手順をしっかりと覚えておきましょう。

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