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定積分で表された関数

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今回の問題は「定積分で表された関数」です。

問題次の等式を満たす関数 \(f(x)\) と定数 \(a\) の値をそれぞれ求めよ。$$~~~\int_{a}^{x}f(t)dt=x^2-2x-8$$

 

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定積分で表された関数の解法

Point:定積分で表された関数\(a\) が定数のとき、$$~~~\int_{a}^{x}f(t)dt$$この式の積分計算結果は \(x\) の関数となるので、この式を \(x\) で微分すると \(f(x)\) となります。

$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$$

これより、\(f(x)\) を求めます。
 
また、\(x=a\) とすると、

$$\int_{a}^{a}f(t)dt=0$$

区間が同じになり、積分結果が \(0\) となることを用いて定数 \(a\) の値を求めることができます。

 

問題解説:定積分で表された関数

問題次の等式を満たす関数 \(f(x)\) と定数 \(a\) の値をそれぞれ求めよ。$$~~~\int_{a}^{x}f(t)dt=x^2-2x-8$$

$$~~~\int_{a}^{x}f(t)dt=x^2-2x-8~~~\cdots{\large ①}$$①の式は \(x\) の関数であるので、両辺を \(x\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=(x^2-2x-8)’$$左辺は \(f(x)\) となるので、$$\hspace{ 10 pt}f(x)=2x-2$$
 
また、①の式に \(x=a\) を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\int_{a}^{a}f(t)dt=a^2-2a-8$$左辺は \(0\) となるので、$$\hspace{ 10 pt}0=a^2-2a-8$$両辺を入れ替えると、$$\hspace{ 10 pt}a^2-2a-8=0$$因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(a+2)(a-4)=0$$$$\hspace{ 30 pt}a=-2~,~4$$
 
よって、答えは$$~~~f(x)=2x-2~,~a=-2~,~4$$となります。

 

今回のまとめ

定積分で表された関数は、関数 \(f(x)\) の求め方と定数 \(a\) の求め方の手順をしっかりと覚えておきましょう。

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