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定積分と面積①(x軸と囲まれた面積)

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今回の問題は「定積分と面積①(x軸と囲まれた面積)」です。

問題次の曲線と \(x\) 軸とで囲まれた図形の面積を求めよ。$${\small (1)}~y=-x^2+x+2$$$${\small (2)}~y=x^2-2x$$

 

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x軸で囲まれた図形の面積の解法

Point:x軸で囲まれた図形の面積
上の図で \(S_1\) は \(x\) 軸より上側にあるので、

$$S_1=\int_{a}^{b}f(x)dx$$

で面積が求まります。
 
また、\(S_2\) は \(x\) 軸より下側にあるので、

$$S_2=-\int_{b}^{c}f(x)dx$$

このようにマイナスを付けて面積計算をします。

 

問題解説:定積分と面積①(x軸と囲まれた面積)

問題解説(1)

問題次の曲線と \(x\) 軸とで囲まれた図形の面積を求めよ。$${\small (1)}~y=-x^2+x+2$$

$$\hspace{ 10 pt}y=-x^2+x+2$$右辺を因数分解すると、$$\hspace{ 18 pt}=-(x^2-x-2)$$$$\hspace{ 18 pt}=-(x+1)(x-2)$$よって、この2次関数は \(x\) 軸と$$\hspace{ 20 pt}x=-1~,~2$$で交わり、上に凸のグラフとなります。

よって、\(x\) 軸と囲まれる図形の面積は、\(x\) 軸より上側にあるので、$$~~~~~~\int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)dx$$$$~=\left[ -\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+2x \right]_{-1}^{2}~~~\cdots{\large ①}$$
ここで、①の [ ] の中の関数に \(x=2\) を代入した値は、$$~~~~~~-\frac{1}{3}\cdot2^3+\frac{1}{2}\cdot2^2+2\cdot2$$$$~=-\frac{8}{3}+2+4$$$$~=-\frac{8}{3}+6$$$$~=\frac{-8+18}{3}$$$$~=\frac{10}{3}$$
また、\(x=-1\) を代入した値は、$$~~~~~~-\frac{1}{3}(-1)^3+\frac{1}{2}(-1)^2+2(-1)$$$$~=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2$$$$~=\frac{2+3-12}{6}$$$$~=-\frac{7}{6}$$
よって、①の計算の続きは、$$~~~~~~\left[ -\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+2x \right]_{-1}^{2}$$$$~=\frac{10}{3}-\left( -\frac{7}{6} \right)$$$$~=\frac{20}{6}+\frac{7}{6}$$$$~=\frac{27}{6}$$$$~=\frac{9}{2}$$

よって、答えは$$~~~\frac{9}{2}$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の曲線と \(x\) 軸とで囲まれた図形の面積を求めよ。 $${\small (2)}~y=x^2-2x$$

$$\hspace{ 10 pt}y=x^2-2x$$右辺を因数分解すると、$$\hspace{ 18 pt}=x(x-2)$$よって、この2次関数は \(x\) 軸と$$\hspace{ 20 pt}x=0~,~2$$で交わり、下に凸のグラフとなります。

よって、\(x\) 軸と囲まれる図形の面積は、\(x\) 軸より下側にあるので、$$~~~~~~-\int_{0}^{2}(x^2-2x)dx$$$$~=-\left[ \frac{1}{3}x^3-x^2 \right]_{0}^{2}~~~\cdots{\large ①}$$
ここで、①の [ ] の中の関数に \(x=2\) を代入した値は、$$~~~~~~\frac{1}{3}\cdot2^3-2^2$$$$~=\frac{8}{3}-4$$$$~=\frac{8-12}{3}$$$$~=-\frac{4}{3}$$
また、\(x=0\) を代入した値は、$$~~~~~~\frac{1}{3}\cdot0^3-0^2$$$$~=0$$
よって、①の計算の続きは、$$~~~~~~-\left[ \frac{1}{3}x^3-x^2 \right]_{0}^{2}$$$$~=-\left( -\frac{4}{3}-0 \right)$$$$~=\frac{4}{3}$$
よって、答えは$$~~~\frac{4}{3}$$となります。

 

今回のまとめ

\(x\) 軸と囲まれる図形の面積は、\(x\) 軸より上側であればプラスで \(x\) 軸より下側であればマイナスを付けて計算することをおさえておきましょう。

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