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定積分と面積②(2つの関数で囲まれた面積)

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今回の問題は「定積分と面積②(2つの関数で囲まれた面積)」です。

問題次の曲線や直線で囲まれた図形の面積を求めよ。$${\small (1)}~y=x^2+x-5~,~y=2x+1$$$${\small (2)}~y=x^2+4x-5~,~y=-x^2-2x+3$$

 

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2つの関数ので囲まれた図形の面積

Point:タイトル
上の図で、\(S_1\) は \(y=f(x)\) が上で \(y=g(x)\) が下になっているので、

$$S_1=\int_{a}^{b}\left\{ f(x)-g(x) \right\}dx$$

 
また、\(S_2\) は \(y=g(x)\) が上で \(y=f(x)\) が下になっているので、

$$S_2=\int_{b}^{c}\left\{ g(x)-f(x) \right\}dx$$

 

問題解説:定積分と面積②(2つの関数で囲まれた面積)

問題解説(1)

問題次の曲線や直線で囲まれた図形の面積を求めよ。$${\small (1)}~y=x^2+x-5~,~y=2x+1$$

この放物線と直線との交点の \(x\) 座標は、連立することにより、$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} y=x^2+x-5 \\ y=2x+1 \end{eqnarray}$$連立すると、$$\hspace{ 10 pt}x^2+x-5=2x+1$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x^2+x-5-2x-1=0$$整理すると、$$\hspace{ 10 pt}x^2-x-6=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(x+2)(x-3)=0$$$$\hspace{ 20 pt}x=-2~,~3$$
よって、交点の \(x\) 座標が \(x=-2~,~3\) となるので、放物線と直線のグラフは次のようになります。

よって、囲まれた図形の面積は、直線 \(y=2x+1\) が上にきているので、$$~~~~~~\int_{-2}^{3}\left\{ (2x+1)-(x^2+x-5)\right\}dx$$$$~=\int_{-2}^{3}(2x+1-x^2-x+5)dx$$$$~=\int_{-2}^{3}(-x^2+x+6)dx$$$$~=\left[ -\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+6x \right]_{-2}^{3}~~~\cdots{\large ①}$$
ここで、①の [ ] の中の関数に \(x=3\) を代入した値は、$$~~~~~~-\frac{1}{3}\cdot3^3+\frac{1}{2}\cdot3^2+6\cdot3$$$$~=-9+\frac{9}{2}+18$$$$~=9+\frac{9}{2}$$$$~=\frac{18+9}{2}$$$$~=\frac{27}{2}$$
\(x=-2\) を代入した値は、$$~~~~~~-\frac{1}{3}(-2)^3+\frac{1}{2}(-2)^2+6(-2)$$$$~=\frac{8}{3}+2-12$$$$~=\frac{8}{3}-10$$$$~=\frac{8-30}{3}$$$$~=-\frac{22}{3}$$
よって、①の計算の続きは、$$~~~~~~\left[ -\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+6x \right]_{-2}^{3}$$$$~=\frac{27}{2}-\left( -\frac{22}{3} \right)$$$$~=\frac{27}{2}+\frac{22}{3}$$$$~=\frac{81+44}{6}$$$$~=\frac{125}{6}$$
よって、答えは$$~~~\frac{125}{6}$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の曲線や直線で囲まれた図形の面積を求めよ。 $${\small (2)}~y=x^2+4x-5~,~y=-x^2-2x+3$$

この2つの放物線の交点の \(x\) 座標は、連立することより、$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} y=x^2+4x-5 \\ y=-x^2-2x+3 \end{eqnarray}$$連立すると、$$\hspace{ 10 pt}x^2+4x-5=-x^2-2x+3$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x^2+4x-5+x^2+2x-3=0$$整理すると、$$\hspace{ 10 pt}2x^2+6x-8=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 14 pt}2(x^2+3x-4)=0$$$$\hspace{ 10 pt}2(x+4)(x-1)=0$$$$\hspace{ 20 pt}x=-4~,~1$$
よって、交点の \(x\) 座標が \(x=-4~,~1\) となるので、2つの放物線のグラフは次のようになります。

よって、囲まれた図形の面積は、放物線 \(y=-x^2-2x+3\) が上にきているので、$$~~~~~~\int_{-4}^{1}\left\{ (-x^2-2x+3)-(x^2+4x-5)\right\}dx$$$$~=\int_{-4}^{1}(-x^2-2x+3-x^2-4x+5)dx$$$$~=\int_{-4}^{1}(-2x^2-6x+8)dx$$$$~=\left[ -\frac{2}{3}x^3-3x^2+8x \right]_{-4}^{1}~~~\cdots{\large ①}$$
ここで、①の [ ] の中の関数に \(x=1\) を代入した値は、$$~~~~~~-\frac{2}{3}\cdot1^3-3\cdot1^2+8\cdot1$$$$~=-\frac{2}{3}-3+8$$$$~=-\frac{2}{3}+5$$$$~=\frac{-2+15}{3}$$$$~=\frac{13}{3}$$
また、\(x=-4\) を代入した値は、$$~~~~~~-\frac{2}{3}(-4)^3-3(-4)^2+8(-4)$$$$~=\frac{128}{3}-48-32$$$$~=\frac{128}{3}-80$$$$~=\frac{128-240}{3}$$$$~=-\frac{112}{3}$$
よって、①の計算の続きは、$$~~~~~~\left[ -\frac{2}{3}x^3-3x^2+8x \right]_{-4}^{1}$$$$~=\frac{13}{3}-\left( -\frac{112}{3} \right)$$$$~=\frac{13}{3}+\frac{112}{3}$$$$~=\frac{125}{3}$$
よって、答えは$$~~~\frac{125}{3}$$となります。

 

今回のまとめ

2つの関数で囲まれた図形の面積は、どちらが上になっているかで定積分の差の式が変わってきます。まずはグラフを書いて、交点の \(x\) 座標と位置関係を確認しましょう。

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