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導関数

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今回の問題は「導関数」です。

問題次の関数の導関数を定義に従って求めよ。$${\small (1)}~f(x)=3x+1$$$${\small (2)}~f(x)=2x^2$$

 

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導関数の求め方

Point:導関数関数 \(f(x)\) において、微分係数 \(f'(a)\) を得ることができる新しい関数を \(f'(x)\) として \(f(x)\) の導関数といいます。

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

導関数の定義に従った解法の手順は、
\(f(x+h)\) の式を \(x\) を \(x+h\) にすることより求めます。
② 次の表を作ります。

\(f(x)\) \(f(x)~\to~f(x+h)\)
\(x\) \(x~\to~x+h\)

導関数の定義の式を作ります。$$~~~f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}$$

Point:微分係数と導関数

微分係数と導関数は次の表で区別しておきましょう。

微分係数
\(f'(a)\)
\(x=a\) のときの数値となります。
導関数 \(f'(x)\) に \(x=a\) を代入しても求まります。
導関数
\(f'(x)\)
\(x\) の関数となります。
もとの関数を微分することでも得られます。

 

問題解説:導関数

問題解説(1)

問題次の関数の導関数を定義に従って求めよ。$${\small (1)}~f(x)=3x+1$$

\(f(x+h)\) の式は、$$~~~~~~f(x+h)$$$$~=3\cdot(x+h)+1$$$$~=3x+3h+1$$
表にまとめると、

\(f(x)\) \(3x+1~\to~3x+3h+1\)
\(x\) \(x~\to~x+h\)

よって、導関数 \(f'(x)\) は、$$~~~~~~f'(x)$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{(3x+3h+1)-(3x+1)}{(x+h)-x}$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{3x+3h+1-3x-1}{x+h-x}$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{3h}{h}$$$$~=\lim_{h\to0}3$$$$~=3$$よって、答えは \(f'(x)=3\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の関数の導関数を定義に従って求めよ。$${\small (2)}~f(x)=2x^2$$

\(f(x+h)\) の式は、$$~~~~~~f(x+h)$$$$~=2\cdot(x+h)^2$$$$~=2(x^2+2hx+h^2)$$$$~=2x^2+4hx+2h^2$$
表にまとめると、

\(f(x)\) \(2x^2~\to~2x^2+4hx+2h^2\)
\(x\) \(x~\to~x+h\)

よって、導関数 \(f'(x)\) は、$$~~~~~~f'(x)$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{(2x^2+4hx+2h^2)-2x^2}{(x+h)-x}$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{2x^2+4hx+2h^2-2x^2}{x+h-x}$$$$~=\lim_{h\to0}\frac{4hx+2h^2}{h}$$$$~=\lim_{h\to0}(4x+2h)$$$$~=4x+2\cdot0$$$$~=4x$$よって、答えは \(f'(x)=4x\) となります。

 

今回のまとめ

導関数の定義に従って解く方法はしっかりと覚えておきましょう。また、「導関数」と「微分係数」の区別ができるようになりましょう。

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