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微分の計算

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今回の問題は「微分の計算」です。

問題次の関数を [ ] の文字で微分せよ。$${\small (1)}~y=x^3-2x^2+5x-5~~~[~x~]$$$${\small (2)}~y=(x+2)(3x-1)~~~[~x~]$$$${\small (3)}~y=(3x-1)^2~~~[~x~]$$$${\small (4)}~S=\pi r^2~~~[~r~]$$$${\small (5)}~V=\frac{4}{3}\pi r^3~~~[~r~]$$

 

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微分の計算方法

Point:微分の計算関数 \(f(x)\) の導関数 \(f'(x)\) を求めることを \(f(x)\) を \(x\) で微分するといいます。
関数 \(x^n\) を \(x\) で微分すると、

$$(x^n)’=n\cdot x^{n-1}$$

 累乗部分 \(n\) → 係数 \(n\)
 次数が1つ下がって \(n\) → \(n-1\)
となります。
 
また、定数 \(c\) ( \(x\) に関係のない数)を \(x\) で微分すると、

$$(c)’=0$$

となります。

 

問題解説:微分の計算

問題解説(1)

問題次の関数を [ ] の文字で微分せよ。$${\small (1)}~y=x^3-2x^2+5x-5~~~[~x~]$$

\(y\) を \(x\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}y’=3\cdot x^{3-1}-2\cdot2x^{2-1}+5x^{1-1}+0$$$$\hspace{ 21 pt}=3x^2-4x^1+5x^0$$$$\hspace{ 21 pt}=3x^2-4x+5$$
よって、答えは$$~~~y’=3x^2-4x+5$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の関数を [ ] の文字で微分せよ。 $${\small (2)}~y=(x+2)(3x-1)~~~[~x~]$$

展開すると、$$\hspace{ 10 pt}y=3x^2+5x-2$$\(y\) を \(x\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}y’=2\cdot3x^{2-1}+5x^{1-1}+0$$$$\hspace{ 21 pt}=6x^1+5x^0$$$$\hspace{ 21 pt}=6x+5$$
よって、答えは$$~~~y’=6x+5$$となります。

 

問題解説(3)

問題次の関数を [ ] の文字で微分せよ。 $${\small (3)}~y=(3x-1)^2~~~[~x~]$$

展開すると、$$\hspace{ 10 pt}y=9x^2-6x+1$$\(y\) を \(x\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}y’=2\cdot9x^{2-1}-6x^{1-1}+0$$$$\hspace{ 21 pt}=18x^1-6x^0$$$$\hspace{ 21 pt}=18x-6$$
よって、答えは$$~~~y’=18x-6$$となります。

 

問題解説(4)

問題次の関数を [ ] の文字で微分せよ。 $${\small (4)}~S=\pi r^2~~~[~r~]$$

\(S\) を \(r\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}S’=2\cdot \pi r^{2-1}$$$$\hspace{ 23 pt}=2\pi r^1$$$$\hspace{ 23 pt}=2\pi r$$
よって、答えは$$~~~S’=2\pi r$$となります。

 

問題解説(5)

問題次の関数を [ ] の文字で微分せよ。 $${\small (5)}~V=\frac{4}{3}\pi r^3~~~[~r~]$$

\(V\) を \(r\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}V’=3\cdot\frac{4}{3} \pi r^{3-1}$$$$\hspace{ 24 pt}=4\pi r^2$$
よって、答えは$$~~~V’=4\pi r^2$$となります。

 

今回のまとめ

微分の計算はその計算方法を覚えておきましょう。また、定数項が \(0\) となる点に注意しましょう。

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