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2次関数の決定(微分係数の利用)

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今回の問題は「2次関数の決定(微分係数の利用)」です。

問題2次関数 \(f(x)\) が次の条件を満たすとき、\(f(x)\) を求めよ。$$~~~f(2)=-1~,~f'(0)=-5~,~f'(1)=-1$$

 

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微分係数を用いた2次関数の決定

Point:微分係数を用いた2次関数の決定2次関数 \(f(x)\) について、

$$f(x)=ax^2+bx+c~~~\cdots{\large ①}$$

\(f(x)\) を \(x\) で微分すると、

$$f'(x)=2ax+b~~~\cdots{\large ②}$$

この①と②の式と問題文の条件より条件式を作り、連立して係数を求めます。

 

問題解説:2次関数の決定(微分係数の利用)

問題2次関数 \(f(x)\) が次の条件を満たすとき、\(f(x)\) を求めよ。$$~~~f(2)=-1~,~f'(0)=-5~,~f'(1)=-1$$

2次関数 \(f(x)\) を$$~~~f(x)=ax^2+bx+c~~~\cdots{\large ①}$$として、\(f(x)\) を \(x\) で微分すると、$$~~~f'(x)=2ax+b~~~\cdots{\large ②}$$
\(f(2)=-1\) より、①の式に \(x=2\) を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}f(2)=a\cdot2^2+b\cdot2+c=-1$$$$\hspace{ 61 pt}4a+2b+c=-1~~~\cdots{\large ③}$$
\(f'(0)=-5\) より、②の式に \(x=0\) を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}f'(0)=2a\cdot0+b=-5$$$$\hspace{ 81 pt}b=-5~~~\cdots{\large ④}$$
\(f'(1)=-1\) より、②の式に \(x=1\) を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}f'(0)=2a\cdot1+b=-1$$$$\hspace{ 58 pt}2a+b=-1~~~\cdots{\large ⑤}$$
④を⑤に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}2a+(-5)=-1$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}2a=-1+5$$$$\hspace{ 10 pt}2a=4$$両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}a=2~~~\cdots{\large ⑥}$$
④と⑥を③に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}4\cdot2+2\cdot(-5)+c=-1$$$$\hspace{ 46 pt}8-10+c=-1$$$$\hspace{ 61 pt}-2+c=-1$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}c=-1+2$$$$\hspace{ 10 pt}c=1$$

以上より、\(a=2~,~b=-5~,~c=1\) を①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}f(x)=2x^2-5x+1$$
よって、答えは$$~~~f(x)=2x^2-5x+1$$となります。

 

今回のまとめ

微分係数が条件にある2次関数の決定では、2次関数を文字係数でおいて導関数を求めてそれを条件式としましょう。

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