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接線の方程式①

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今回の問題は「接線の方程式①」です。

問題次の接線の方程式を求めよ。
\({\small (1)}\) \(y=x^2-4x\) 上の点 \((1~,~-3)\) における接線。
\({\small (2)}\) \(y=x^3-2x^2+5x+1\) 上の点 \((2~,~11)\) における接線。

 

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接線の方程式の求め方

Point:接線の方程式曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \((t~,~f(t))\)における接線の方程式は、

$$y-f(t)=f'(t)(x-t)$$

となります。

この式を求める手順は、
接点の座標の確認をします。
② \(f(x)\) を \(x\) で微分した式 \(f'(x)\) を求めます。
③ \(f'(x)\) に \(x=t\) (接点の \(x\) 座標)を代入して、接線の傾き \(f'(t)\) を求めます。
傾き \(f'(t)\) と接点 \((t~,~f(t))\) より、直線の方程式の公式で接線の方程式を求めます。

 

問題解説:接線の方程式①

問題解説(1)

問題次の接線の方程式を求めよ。
\({\small (1)}\) \(y=x^2-4x\) 上の点 \((1~,~-3)\) における接線。

\(y\) を \(x\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}y’=2x-4$$ここで、接点の \(x\) 座標が \(x=1\) より代入すると、$$~~~~~~2\cdot1-4$$$$~=2-4$$$$~=-2$$よって、この接線の傾きが \(-2\) となります。
 
接点の座標が \((1~,~-3)\) で、傾き \(-2\) の直線の方程式より、$$\hspace{ 10 pt}y-(-3)=-2(x-1)$$$$\hspace{ 26 pt}y+3=-2x+2$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}y=-2x+2-3$$$$\hspace{ 10 pt}y=-2x-1$$
よって、答えは$$~~~y=-2x-1$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の接線の方程式を求めよ。
\({\small (2)}\) \(y=x^3-2x^2+5x+1\) 上の点 \((2~,~11)\) における接線。

\(y\) を \(x\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}y’=3x^2-4x+5$$ここで、接点の \(x\) 座標が \(x=2\) より代入すると、$$~~~~~~3\cdot2^2-4\cdots2+5$$$$~=12-8+5$$$$~=9$$よって、この接線の傾きが \(9\) となります。
 
接点の座標が \((2~,~11)\) で、傾き \(9\) の直線の方程式より、$$\hspace{ 10 pt}y-11=9(x-2)$$$$\hspace{ 10 pt}y-11=9x-18$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}y=9x-18+11$$$$\hspace{ 10 pt}y=9x-7$$
よって、答えは$$~~~y=9x-7$$となります。

 

今回のまとめ

接線の方程式を求めるときは、接点の座標の確認と微分係数より傾きを求める解法を覚えておきましょう。

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