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接線の方程式②(外部の点から引いた接線)

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今回の問題は「接線の方程式②(外部の点から引いた接線)」です。

問題次の接線の方程式を求めよ。
\({\small (1)}\) \(y=x^2-2x+3\) の接線で、点 \((-1~,~-3)\) を通る接線。
\({\small (2)}\) \(y=-x^2+4x-3\) の接線で、傾きが \(6\) となる接線。

 

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外部の点から引いた接線の方程式

Point:外部の点から引いた接線の方程式次の図のように、外部の点から引いた接線の方程式を求める手順は、

① 接点の \(x\) 座標を \(t\) として、接点の座標を置きます。$$~~~(t~,~f(t))$$② \(f(x)\) を微分して \(f'(x)\) を求めて、\(x=t\) を代入して接線の傾き \(f'(t)\) を求めます。
③ ①と②より、接線の方程式を求めます。( \(t\) を含む式となります。)
④ 外部の点 \({\rm A}(a~,~b)\) を通ることより、この点の座標を代入して \(t\) の値を求めます。
⑤ \(t\) の値を代入して、接線の方程式を求めます。

 

問題解説:接線の方程式②(外部の点から引いた接線)

問題解説(1)

問題次の接線の方程式を求めよ。
\({\small (1)}\) \(y=x^2-2x+3\) の接線で、点 \((-1~,~-3)\) を通る接線。

接点の \(x\) 座標を \(t\) とすると、\(y=x^2-2x+3\) 上にあるので、接点の座標は、$$~~~(t~,~t^2-2t+3)$$
次に、\(y\) を \(x\) で微分すると、$$~~~y’=2x-2$$これより、接点の \(x\) 座標 \(x=t\) を代入すると、$$~~~2t-2$$よって、傾きが \(2t-2\) となり、接点が \((t~,~t^2-2t+3)\) より接線の方程式は、$$\hspace{ 10 pt}y-(t^2-2t+3)=(2t-2)(x-t)~~~\cdots{\Large ①}$$ここで、この接線は点 \((-1~,~-3)\) を通るので代入すると、$$\hspace{ 10 pt}-3-(t^2-2t+3)=(2t-2)(-1-t)$$展開すると、$$\hspace{ 10 pt}-3-t^2+2t-3=-2t-2t^2+2+2t$$整理すると、$$\hspace{ 10 pt}-t^2+2t-6=-2t^2+2$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}-t^2+2t-6+2t^2-2=0$$$$\hspace{ 61 pt}t^2+2t-8=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(t+4)(t-2)=0$$$$\hspace{ 50 pt}t=-4~,~2$$
 
( ⅰ ) \(t=2\) のとき、
①に \(t=2\) を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}y-(2^2-2\cdot2+3)=(2\cdot2-2)(x-2)$$$$\hspace{ 27 pt}y-(4-4+3)=(4-2)(x-2)$$$$\hspace{ 70 pt}y-3=2(x-2)$$$$\hspace{ 70 pt}y-3=2x-4$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}y=2x-4+3$$$$\hspace{ 10 pt}y=2x-1$$
 
( ⅱ ) \(t=-4\) のとき、
①に \(t=-4\) を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}y-\{(-4)^2-2\cdot(-4)+3\}$$$$\hspace{ 50 pt}=\{2\cdot(-4)-2\}\{x-(-4)\}$$整理すると、$$\hspace{ 10 pt}y-(16+8+3)=(-8-2)(x+4)$$$$\hspace{ 53 pt}y-27=-10(x+4)$$$$\hspace{ 53 pt}y-27=-10x-40$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}y=-10x-40+27$$$$\hspace{ 10 pt}y=-10x+13$$

よって、答えは$$~~~y=2x-1~,~y=-10x+13$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の接線の方程式を求めよ。
\({\small (2)}\) \(y=-x^2+4x-3\) の接線で、傾きが \(6\) となる接線。

接点の \(x\) 座標を \(t\) とすると、\(y=-x^2+4x-3\) 上にあるので、接点の座標は、$$~~~(t~,~-t^2+4t-3)$$
次に、\(y\) を \(x\) で微分すると、$$~~~y’=-2x+4$$これより、接点の \(x\) 座標 \(x=t\) を代入すると、$$~~~-2t+4$$よって、傾きが \(-2t+4\) となります。
問題文より、傾きが \(6\) であるので、$$\hspace{ 10 pt}-2t+4=6$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}-2t=6-4$$$$\hspace{ 10 pt}-2t=2$$両辺を \(-2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}t=-1$$となります。
 
ここで、\(t=-1\) より、接点の \(y\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}y=-(-1)^2+4\cdot(-1)-3$$$$\hspace{ 18 pt}=-1-4-3$$$$\hspace{ 18 pt}=-8$$
よって、接点の座標は \((-1~,~-8)\) となり、傾きが \(6\) より接線の方程式は、$$\hspace{ 10 pt}y-(-8)=6\{x-(-1)\}$$$$\hspace{ 26 pt}y+8=6(x+1)$$$$\hspace{ 26 pt}y+8=6x+6$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}y=6x+6-8$$$$\hspace{ 10 pt}y=6x-2$$
よって、答えは$$~~~y=6x-2$$となります。

 

今回のまとめ

外部の点から引いた接線を求めるときは、まず接点の座標を置くところから始めましょう。問題(1)のようなパターンでは複数の接線が引けるので注意しましょう。

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