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微分係数

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今回の問題は「微分係数」です。

問題関数 \(f(x)=2x^2-3\) の \(x=2\) における微分係数を定義に従って求めよ。

 

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微分係数の求め方

Point:タイトル関数 \(f(x)\) の \(x\) が \(a\to b\) まで変化するときの平均変化率は、$$~~~\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$これの \(b\to a\) に近づけたときの値を微分係数といい \(f'(a)\) で表します。

$$f'(a)=\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

また、関数 \(f(x)\) の \(x\) が \(a\to a+h\) まで変化するときの平均変化率において \(h\to0\) に近づけたときと考えることができます。計算するときはこちらで計算しましょう。

$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}$$$$\hspace{ 23 pt}=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

解法の手順は、
\(f(a)\) と \(f(a+h)\) の値をそれぞれ計算します。
② 次の表を作り平均変化率を求めます。

\(f(x)\) \(f(a)~\to~f(a+h)\)
\(x\) \(a~\to~a+h\)

\(h\to0\) に近づけたときの極限値を求めます。$$~~~f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}$$$$\hspace{ 10 pt}=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

 

問題解説:微分係数

問題関数 \(f(x)=2x^2-3\) の \(x=2\) における微分係数を定義に従って求めよ。

まず、\(x=2\) から \(x=2+h\) までの平均変化率を考えます。
\(x=2\) のとき、$$~~~~~~f(2)$$$$~=2\cdot2^2-3$$$$~=8-3$$$$~=5$$
\(x=2+h\) のとき、$$~~~~~~f(2+h)$$$$~=2\cdot(2+h)^2-3$$$$~=2\cdot(4+4h+h^2)-3$$$$~=8+8h+2h^2-3$$$$~=2h^2+8h+5$$
よって、表にまとめると、

\(f(x)\) \(5~\to~2h^2+8h+5\)
\(x\) \(2~\to~2+h\)

表より、平均変化率は$$~~~~~~\frac{(2h^2+8h+5)-5}{(2+h)-2}$$$$~=\frac{2h^2+8h}{h}$$$$~=2h+8$$
よって、微分係数 \(f'(2)\) は、 \(h\to0\) に近づけたときとなるので、$$~~~~~~f'(2)$$$$~=\lim_{h\to0}(2h+8)$$$$~=2\cdot0+8$$$$~=8$$
よって、答えは \(f'(2)=8\) となります。

 

今回のまとめ

微分係数を定義に従って解くときは、まず平均変化率を表から求めて極限値を求めましょう。

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