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3次関数の最大値・最小値

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今回の問題は「3次関数の最大値・最小値」です。

問題次の関数の最大値と最小値を求めよ。$$~~~y=x^3-3x^2-9x+1~~~(0≦x≦4)$$

 

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3次関数の最大値・最小値の解法

Point:3次関数の最大値・最小値解法の手順は、
① 与えられた3次関数を微分して、\(y’=0\) となる \(x\) の値を求めます。
② 増減表を作るとき、\(x\) の定義域の両端も組み込んで作ります。
③ 増減表より、グラフを描いて最大値と最小値を求めます。

 

問題解説:3次関数の最大値・最小値

問題次の関数の最大値と最小値を求めよ。$$~~~y=x^3-3x^2-9x+1~~~(0≦x≦4)$$

\(y\) を \(x\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}y’=3x^2-6x-9$$右辺を因数分解すると、$$\hspace{ 21 pt}=3(x^2-2x-3)$$$$\hspace{ 21 pt}=3(x+1)(x-3)$$ここで、\(y’=0\) となる \(x\) は、$$\hspace{ 40 pt}x=-1~,~3$$これより、\(y’\) のグラフは次のようになります。

また、\(x=3\) のとき \(y\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}y=3^3-3\cdot3^2-9\cdot3+1$$$$\hspace{ 18 pt}=27-27-27+1$$$$\hspace{ 18 pt}=-26$$ここで、\(x=-1\) のときは定義域の外なので \(y\) 座標は不要です。
 
また、定義域が \(0≦x≦4\) より、
\(x=0\) のとき \(y\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}y=0^3-3\cdot0^2-9\cdot0+1$$$$\hspace{ 18 pt}=1$$
\(x=4\) のとき \(y\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}y=4^3-3\cdot4^2-9\cdot4+1$$$$\hspace{ 18 pt}=64-48-36+1$$$$\hspace{ 18 pt}=-19$$
 
よって、増減表を定義域 \(0≦x≦4\) の範囲で作ると次のようになります。

\(x\) \(0\) \(\cdots\) \(3\) \(\cdots\) \(4\)
\(y’\) \(-\) \(-\) \(0\) \(+\) \(+\)
\(y\) \(1\) ↘︎ \(-26\) ↗︎ \(-19\)

よって、グラフは

したがって、グラフより、
 \(x=0\) のとき、最大値 \(1\)
 \(x=3\) のとき、最小値 \(-26\)
となります。

 

今回のまとめ

3次関数の最大値と最小値を求めるときは、グラフを描くときの増減表に定義域を組み込んで考えましょう。

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