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極値の条件と関数の決定

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今回の問題は「極値の条件と関数の決定」です。

問題次の関数が \(x=1\) のとき極大値 \(4\) をとるとき、\(a~,~b\) の値と極小値を求めよ。$$~~~y=x^3-6x^2+ax+b$$

 

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極値の条件と関数の決定

Point:極値の条件と関数の決定関数 \(f(x)\) とその導関数 \(f'(x)\) において、条件が
\(x=\alpha\) のとき極大値 \(t\) をとる
となるとき、条件式として、

$$\biggl\{ \begin{eqnarray} f(\alpha)=t \\ f'(\alpha)=0 \end{eqnarray}$$

が成り立ちます。
(極小値が与えられたときも同様に考えます。)

 

問題解説:極値の条件と関数の決定

問題次の関数が \(x=1\) のとき極大値 \(4\) をとるとき、\(a~,~b\) の値と極小値を求めよ。$$~~~y=x^3-6x^2+ax+b$$

\(y=f(x)\) とすると、$$\hspace{ 10 pt}f(x)=x^3-6x^2+ax+b$$\(x\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}f'(x)=3x^2-12x+a$$
ここで、\(x=1\) のとき極大値 \(4\) をとることより、$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} f(1)=4 \\ f'(1)=0 \end{eqnarray}$$が成り立ちます。
 
\(f(x)\) に \(x=1\) を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}f(1)=1^3-6\cdot1^2+a\cdot1+b$$$$\hspace{ 32 pt}=1-6+a+b$$$$\hspace{ 32 pt}=a+b-5$$\(f(1)=4\) より、$$\hspace{ 10 pt}a+b-5=4$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}a+b=4+5$$$$\hspace{ 10 pt}a+b=9~~~\cdots{\large ①}$$
 
\(f'(x)\) に \(x=1\) を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}f'(1)=3\cdot1^2-12\cdot1+a$$$$\hspace{ 35 pt}=3-12+a$$$$\hspace{ 35 pt}=a-9$$\(f'(1)=0\) より、$$\hspace{ 10 pt}a-9=0$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}a=9~~~\cdots{\large ②}$$

②を①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}9+b=9$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}b=9-9$$$$\hspace{ 10 pt}b=0$$

よって、\(a=9~,~b=0\) となるので、$$~~~f(x)=x^3-6x^2+9x$$\(x\) で微分した式は、$$\hspace{ 10 pt}f'(x)=3x^2-12+9$$右辺を因数分解すると、$$\hspace{ 35 pt}=3(x^2-4x+3)$$$$\hspace{ 35 pt}=3(x-1)(x-3)$$ここで、\(f'(x)=0\) となるのは$$\hspace{ 30 pt}x=1~,~3$$これより、\(f'(x)\) のグラフは次のようになります。

また、\(x=3\) のとき \(f(3)\) の値は、$$\hspace{ 10 pt}f(3)=3^3-6\cdot3^2+9\cdot3$$$$\hspace{ 31 pt}=27-54+27$$$$\hspace{ 31 pt}=0$$
\(x=1\) のとき、\(f(1)\) の値は極大値 \(4\) となります。
よって、増減表を作ると、

\(x\) \(\cdots\) \(1\) \(\cdots\) \(4\) \(\cdots\)
\(f'(x)\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(f(x)\) ↗︎ \(4\) ↘︎ \(0\) ↗︎

よって、極小値は \(0\) となります。
 
以上より、答えは
 \(a=9\) 、\(b=0\) 、極小値 \(0\)
となります。

 

今回のまとめ

極値をとる \(x\) の値と極大値(極小値)が条件として与えられたとき、関数とその導関数から条件式を立て計算していきましょう。

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