Twitterフォローよろしくお願いします!

3次方程式の解の個数①

スポンサーリンク
スポンサーリンク

今回の問題は「3次方程式の解の個数①」です。

問題次の方程式の実数解の個数を調べよ。$${\small (1)}~x^3-\frac{1}{2}x^2-2x+1=0$$$${\small (2)}~-x^3+6x^2-12x+6=0$$

 

スポンサーリンク
スポンサーリンク

3次方程式の解の個数の求め方

Point:3次方程式の解の個数3次方程式$$~~~ax^3+bx^2+cx+d=0$$において、左辺を \(y=\) とした3次関数$$~~~y=ax^3+bx^2+cx+d$$この3次関数と \(x\) 軸との共有点の個数が、3次方程式の解の個数となります。
よって、この3次関数のグラフを増減表を用いて描きましょう。

 

問題解説:3次方程式の解の個数①

問題解説(1)

問題次の方程式の実数解の個数を調べよ。$${\small (1)}~x^3-\frac{1}{2}x^2-2x+1=0$$

左辺を \(y=\) とすると、$$\hspace{ 10 pt}y=x^3-\frac{1}{2}x^2-2x+1$$\(y\) を \(x\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}y’=3x^2-x-2$$たすき掛けの表より、因数分解すると、
$$\hspace{ 21 pt}=(x-1)(3x+2)$$ここで、\(y’=0\) となるのは、$$\hspace{ 30 pt}x=-\frac{2}{3}~,~1$$これより、\(y’\) のグラフは次のようになります。

また、\(x=1\) のとき \(y\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}y=1^3-\frac{1}{2}\cdot1^2-2\cdot1+1$$$$\hspace{ 18 pt}=1-\frac{1}{2}-2+1$$$$\hspace{ 18 pt}=-\frac{1}{2}$$
\(x=-{\large \frac{2}{3}}\) のとき \(y\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}y=\left(-\frac{2}{3}\right)^3-\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{3}\right)^2-2\left(-\frac{2}{3}\right)+1$$$$\hspace{ 18 pt}=-\frac{8}{27}-\frac{2}{9}+\frac{4}{3}+1$$$$\hspace{ 18 pt}=\frac{-8-6+36+27}{27}$$$$\hspace{ 18 pt}=\frac{49}{27}$$
よって、\(y\) の増減表は次のようになります。

\(x\) \(\cdots\) \(-\frac{2}{3}\) \(\cdots\) \(1\) \(\cdots\)
\(y’\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(y\) ↗︎ \(\frac{49}{27}\) ↘︎ \(-\frac{1}{2}\) ↗︎

よって、増減表よりグラフは、

グラフは \(x\) 軸と共有点を3つもつので、与えられた方程式は3つの実数解をもちます。

 

問題解説(2)

問題次の方程式の実数解の個数を調べよ。 $${\small (2)}~-x^3+6x^2-12x+6=0$$

左辺を \(y=\) とすると、$$\hspace{ 10 pt}y=-x^3+6x^2-12x+6$$\(y\) を \(x\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}y’=-3x^2+12x-12$$右辺を因数分解すると、$$\hspace{ 21 pt}=-3(x^2-4x-4)$$$$\hspace{ 21 pt}=-3(x-2)^2$$ここで、\(y’=0\) となるのは$$\hspace{ 30 pt}x=2$$これより、\(y’\) のグラフは次のようになります。

また、\(x=2\) のとき \(y\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}y=-2^3+6\cdot2^2-12\cdot2+6$$$$\hspace{ 18 pt}=-8+24-24+6$$$$\hspace{ 18 pt}=-2$$
よって、\(y\) の増減表は次のようになります。

\(x\) \(\cdots\) \(2\) \(\cdots\)
\(y’\) \(-\) \(0\) \(-\)
\(y\) ↘︎ \(-2\) ↘︎

よって、増減表よりグラフは、

グラフは \(x\) 軸と共有点を1つもつので、与えられた方程式は1つの実数解をもちます。

 

今回のまとめ

3次方程式の解の個数は、3次関数としてグラフ描いて \(x\) 軸との共有点の個数を調べる解法を覚えておきましょう。

【問題一覧】数学Ⅱ:微分と積分
このページは「高校数学Ⅱ:微分と積分」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないとき...