オンライン家庭教師生徒募集中!詳しくはTwitterにて!

解が与えられた2次方程式

スポンサーリンク
スポンサーリンク

今回の問題は「解が与えられた2次方程式」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) 2数 \(1+2i~,~1-2i\) を解とする2次方程式を1つ答えよ。
\({\small (2)}~\) 2次方程式 \(x^2+3x+1=0\) の2つの解を \(\alpha~,~\beta\) とするとき、次の2数を解とする2次方程式を1つ答えよ。$$~~{\large ①}~\alpha-1~,~\beta-1$$$$~~{\large ②}~\alpha^2~,~\beta^2$$

 

スポンサーリンク
スポンサーリンク

解が与えられた2次方程式

Point:解が与えられた2次方程式ある2次方程式の2つの解が \(\alpha~,~\beta\) のとき、その2数の和と積をそれぞれ \(p~,~q\) とすると、$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~p=\alpha+\beta \\ ~q=\alpha\beta \end{eqnarray}$$これより、2次方程式は解と係数の関係より次のようになります。

$$x^2-px+q=0$$

したがって、2つの解の和と積を求めると2次方程式が決まります。

 

問題解説:解が与えられた2次方程式

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) 2数 \(1+2i~,~1-2i\) を解とする2次方程式を1つ答えよ。

2数の和 \(p\) と積 \(q\) をそれぞれ求めると、$$~~~p=(1+2i)+(1-2i)$$$$\hspace{ 15 pt}=1+2i+1-2i$$$$\hspace{ 15 pt}=2$$$$~~~q=(1+2i)(1-2i)$$$$\hspace{ 15 pt}=1^2-(2i)^2$$$$\hspace{ 15 pt}=1-4i^2$$$$\hspace{ 15 pt}=1-4\cdot(-1)$$$$\hspace{ 15 pt}=1+4$$$$\hspace{ 15 pt}=5$$したがって、\(p=2~,~q=5\) となるので求める2次方程式は、$$~~~x^2-2x+5=0$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\) 2次方程式 \(x^2+3x+1=0\) の2つの解を \(\alpha~,~\beta\) とするとき、次の2数を解とする2次方程式を1つ答えよ。$$~~{\large ①}~\alpha-1~,~\beta-1$$$$~~{\large ②}~\alpha^2~,~\beta^2$$

2次方程式 \(x^2+3x+1=0\) の2つの解が \(\alpha~,~\beta\) であるので、解と係数の関係より、$$~~~\Biggl\{ \begin{eqnarray} ~\alpha+\beta=-\frac{3}{1}=-3 \\ ~\alpha\beta=\frac{1}{1}=1 \end{eqnarray}$$
 
① \(\alpha-1~,~\beta-1\) を解とする2次方程式は、この2つの解の和を \(p\)、積を \(q\) とすると、$$~~~p=(\alpha-1)+(\beta-1)$$$$\hspace{ 15 pt}=\alpha-1+\beta-1$$$$\hspace{ 15 pt}=\alpha+\beta-2$$ここで、\(\alpha+\beta=-3\) を代入すると、$$\hspace{ 15 pt}=-3-2$$$$\hspace{ 15 pt}=-5$$
$$~~~q=(\alpha-1)(\beta-1)$$$$\hspace{ 15 pt}=\alpha\beta-\alpha-\beta+1$$$$\hspace{ 15 pt}=\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1$$ここで、\(\alpha+\beta=-3~,~\alpha\beta=1\) を代入すると、$$\hspace{ 15 pt}=1-(-3)+1$$$$\hspace{ 15 pt}=1+3+1$$$$\hspace{ 15 pt}=5$$したがって、\(p=-5~,~q=5\) であるので求める2次方程式は、$$~~~x^2-(-5)x+5=0$$$$\hspace{ 24 pt}x^2+5x+5=0$$となります。
 
② \(\alpha^2~,~\beta^2\) を解とする2次方程式は、この2つの解の和を \(s\)、積を \(t\) とすると、$$~~~s=\alpha^2+\beta^2$$2次式の対称式より、$$\hspace{ 15 pt}=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$$ここで、\(\alpha+\beta=-3~,~\alpha\beta=1\) を代入すると、$$\hspace{ 15 pt}=(-3)^2-2\cdot1$$$$\hspace{ 15 pt}=9-2$$$$\hspace{ 15 pt}=7$$
$$~~~t=\alpha^2\beta^2$$$$\hspace{ 15 pt}=(\alpha\beta)^2$$ここで、\(\alpha\beta=1\) を代入すると、$$\hspace{ 15 pt}=1^2$$$$\hspace{ 15 pt}=1$$したがって、\(s=7~,~t=1\) であるので求める2次方程式は、$$~~~x^2-7x+1=0$$となります。

 

今回のまとめ

解が与えられた2次方程式の係数を求めるときは、その2つの解の和と積を求めて解と係数の関係を利用して係数を決定しましょう。

【問題一覧】数学Ⅱ:複素数と方程式
このページは「高校数学Ⅱ:式と証明」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないと...